1 reply to this topic

[0932032656]

cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa $\sqrt{a+b-c}$ + $\sqrt{b+c-a}$ + $\sqrt{c+a-b}$ = $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$. Tính độ dài các đường cao của tam giác đã cho theo a

[Frosty Flame]

cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác thỏa $\sqrt{a+b-c}$ + $\sqrt{b+c-a}$ + $\sqrt{c+a-b}$ = $\sqrt{a}$ + $\sqrt{b}$ + $\sqrt{c}$. Tính độ dài các đường cao của tam giác đã cho theo a

Ta có:

$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}\leq \sqrt{2((a+b-c)+(b+c-a))}=2\sqrt{a}($ Do $(x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)=>x+y\leq\begin{vmatrix}x+y\end{vmatrix}\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}\forall x,y\in \mathbb{R})$

CMTT

$=>\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq 2\sqrt{c};\sqrt{c+a-b}+\sqrt{a+b-c}\leq 2\sqrt{a}$

$<=>\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

Vì dấu $"="$ phải xảy ra (Theo giả thiết)

$=>\sqrt{a+b-c}=\sqrt{b+c-a}=\sqrt{c+a-b}$

$<=>a=b=c<=>$Tam giác đã cho là tam giác đều

$<=>$Đường cao của tam giác đó có độ dài là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$