1 reply to this topic

[nhatminhkh2602]

Cho tam giác $ABC(AB<AC),$ đường cao $AD.P$ là một điểm nằm trên $AD;E,F$ lần lượt là hình chiếu $P$ lên các cạnh $AC,AB.O_1,O_2$ lần lượt là tâm $(BDF),(CDE).$ Chứng minh $O_1,O_2,E,F$ đồng viên $\Leftrightarrow P$ là trực tâm tam giác $ABC.$

Edited by halloffame, 09-01-2019 - 16:41.

[halloffame]

_Khi $P$ là trực tâm $\Delta ABC$ thì hiển nhiên $O_1,O_2,E,F$ đồng viên.

_Khi $O_1,O_2,E,F$ đồng viên, gọi $E',F'$ đối xứng $P$ qua $E,F.$ Qua phép vị tự tâm $P$ tỉ số $2$ suy ra $E',F',B,C$ đồng viên.

Gọi $O$ là tâm $(ABC)$ thì $AO \perp FE \Rightarrow AO \perp E'F',$ lại có $AF'=AP=AE' \Rightarrow AO$ là trung trực $E'F'.$

Lại có $OB=OC \Rightarrow O$ là tâm $(BF'AE'C) \Rightarrow \widehat{APB}= \widehat{AF'B}=180^0- \widehat{ACB} \Rightarrow P$ là trực tâm $\Delta ABC.$

Ta có đpcm.