5 replies to this topic

[trihoctoan]

Quán hình học phẳng- nơi các bạn và thầy cô giáo đam mê hình học thoả sức phát huy sở trường của mình và thảo luận các bài toán hay. Mỗi tháng sẽ có 4 bài toán gồm các bài toán đề nghị của các bạn Nguyễn Hoàng Nam, mình, Trí Phan Quang và 1 bài của bạn đọc gởi đến do chúng tôi chọn lọc. Kể từ tháng thứ 2 bạn nào được giải nhất của tháng trước có quyền đề nghị bài cho tháng sau(nếu muốn). Ngay từ lúc này các bạn có thể đóng góp bài cho chuyên mục. Các bài toán của tháng trước sẽ được giải và bình luận cũng như tiếp nhận phản hồi của bạn đọc trong một file pdf hàng tháng. Các bạn được giải nhất mỗi tháng sẽ được tặng một cuốn sách tuyển tập các bài toán trong chuyên mục sau mỗi năm. Cảm ơn các bạn đã ủng hộ nhóm. Chuyên mục có thể là một bước tiếp nối dành cho các bạn yêu hình học... Các bạn có thể gởi giải ở đây.

Tiêu chí chấm bài: Ngắn gọn đẹp đẽ nhất.

 

Do File quá lớn nên mình sẽ gửi link ,các bạn theo link để giải nhé :

 

https://drive.google...RZ9K8JHQW4/view

 

 

 

 

Edited by trihoctoan, 01-10-2018 - 12:30.

[AnhTran2911]

Lời giải bài 2: Định nghĩa lại $X$ là chân đường đối trung đỉnh $A$ với cạnh $BC$ , thật vậy , gọi tiếp tuyến tại $B,C$ giao tại $R$ và $AR$ giao $BC$ tại $X$, chú ý $M$ là giao của 2 tiếp tuyến tại $E,F$ nên $\triangle{AEF}\cap{N,M}\sim{\triangle{ABC}\cap{R,X}}$ do đó $NX\parallel{MR}$ hay $NX$ vuông góc $BC$ tại $X$. Lúc này nếu gọi $AX$ giao $EF$ tại $V$ thì $V$ là trung điểm $EF$. Để ý rằng tứ giác $VPMQ$ nội tiếp dẫn đến $MV$ giao $PG$ tại trung điểm $S$ của chúng. Từ đó ta xét tứ giác nội tiếp $VNMX$ có $L,S$ là giao điểm 2 đường chéo kết hợp $XV$ giao $NM$ tại $A$ thì $AL,AS$ đẳng giác . Vì $AX,AM$ đẳng giác suy ra $AL$ là đối trung của $\triangle{APQ}$.

[nguyenhaan2209]

Bài $2$: Gọi $K,G$ là tđ $EF$, $PQ$. Theo bổ đề $ERIQ$ có $G$ là tđ $KM$ mà dễ có $NKXM$ nt nên $AL, AG$ đg ($AGM$~$ALX$) tg tự có $(P,Q)$; $(X,M)$ là các cặp điểm đg nên ta có $AL$ là đg đối trung $APQ$

Bài $6$:Gọi $EF,LX$ cắt $BC$ tại $G,N$; $Z$ là h/c của $A$ lên $EF$, $I$ là tđ $AH$, $AH$ giao $EF$ tại $J$

Ta có: $MK/MN=MK/PL.PL/MN=AM/AP.GP/GM=AC/AF.GD/GJ=AC/AF.AZ/AJ=AZ/AE.AB/AJ=AD/AJ=HD/HJ=ID/IH=IH/IJ=IA/IJ$ 

Mặt khác $LJA$ ~ $XNK$ (3 cạnh tg ứng vg) từ đó nên $LIA$ ~ $XMK$ mà $KX,KM$ vg $AL,AJ$ nên $IL$ vg $XK$ tại $S$

Do $IM$ là đg kính $\rightarrow S$ thuộc $(Euler)$ và $LK//IM \rightarrow (LK)$ tx $(Euler)$

Edited by nguyenhaan2209, 02-10-2018 - 00:40.

[dangkhuong]

Chưa ai làm bài 3 nhỉ

[nguyenhaan2209]

Lâu lâu trở lại quán   

Bài 1:

Gọi giao của $DE,DF$ với $AB,AC$ là $L,K$. $M$ là h/c của $D$ trên $BC$

Lấy $J$ là chân đg cao từ $A$, $H'$ đx $H$ qua BC, $P$ là tđ $AD$, $I$ là giao $FE$ với $AD$

Từ gt ta có $E$ là trực tâm $AFD$ nên $I$ chính là chân đg cao do đó $(AHGI)$ và $(ALHKD)$ nội tiếp

Ta có: $GI=AH.DI/DH=AH.DI/DH=2R.DC/DH.sinACD.sinBAD=R.cosACD.tanACD.sinBAD=R.cosACD.DK/KC.DM/DC$

$=R.cosACD.DK/KC.HJ/HD=R.cosACD$($DKC$ ~ $DHH'$) $= OP$

Do đó $OPIG$ là hcn nên $OG//PI$ vuông góc $EF$ (ĐPCM)

 

Bài $3$:

Dựng tâm nt $(I)$, $K,L$ là tiếp điểm của $(I)$ với $AC, AB$, $G$ là tâm nt $AEF$.

Gọi $R$ là giao của $CI$ với $KL$, định nghĩa lại điểm $T$ là giao của $BR$ với $(BC)$

Theo kq quen thuộc thì $R$ cũng thuộc $(BC)$

Có $IJF=90-FGJ=90-(180-(90+E/2))=IBF$ nên ta có $J$ thuộc $(FIB)$ do đó $AI.AJ=AF.AB=AE.AC=AR.AT$

Do đó $ATQ=ALR=180-ALK=180-APQ$ nên $T$ thuộc $(APQ)$

Mặt khác $TJE=TJI+IJE=ARI+ACI=180-RAE$ vậy $T$ thuộc $(AJE)$

Kết hợp $2$ điều trên ta có điểm $T$ chính là điểm $T$ ở đề bài, tức $T$ luôn thuộc đg tròn $(BC)$ cố định do cung $BC$ cố định

 

Bài $4$:

Dễ thấy $PMN=AMB=90-BAM=90-DAC=NQC$ nên $MNQP$ nội tiếp

Qua $A$ kẻ đgt vuông góc $AC, AB$ cắt $DB, DC$ tại $H,I$, gọi trung điểm $BC$ là $K$

Khi đó $AHDI$ là hbh nên $H,O,I$ thẳng hàng

Gọi $E$ là h/c của $A$ trên $HI$ thì $E$ thuộc $(ABH)$ và $(AIC)$ nên $sinEAB/sinEAC=sinEHB/sinEID=DI/DH=AB/AC$ (do $sAHD=sAID$) nên $AE$ chính là đg đối trung của $ABC$

Lại có $HAM=HAB+BAM=90-AHB+NAC=BDC-(90-NAC)=BDC-AQC=QND=ANM$ nên $P(H/A)=HA^2=HM.HN=P(H/(MNPQ))$ hay $H$ nằm trên tđp của đường tròn điểm $A$ và đg tròn tâm $J$

CMTT thì $I$ cũng thuộc tđp của $2$ đường tròn này

Từ đó $AE \equiv AJ$ vuông góc $HI$ mà $AE$ là đường đối trung nên $J$ luôn thuộc $1$ đg đối trung cố định do $A,B,C$ cố định

[quantv2006]

Cảm ơn bác nguyenhaan2209.

 

Bài 4 em chỉ góp ý chút xíu là đoạn $\angle HAM = \angle ANM$: Do $AH \parallel DC$ suy ra  $\angle HAM = \angle APQ = \angle ANM$

Edited by quantv2006, 15-10-2018 - 19:32.