ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 HUYỆN VĨNH YÊN- VĨNH PHÚC.
Câu 1: Cho biểu thức $P=(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+1}):\frac{\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}+1}$( với $x\ge 0;x\ne 1$).
a) Rút gọn biểu thức $P$.
b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $P$ nguyên.
c) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình (ẩn $x$) sau có nghiệm: $(\sqrt{x}+1)P=m$.
Câu 2:
a) Cho hai số thực $a,b$ thỏa mãn: $a^3+b^3+(a+b)^3+6ab=16$. Chứng minh rằng: $a+b=2$.
b) Cho $n$ điểm được tô màu xanh và $n$ điểm được tô màu đỏ trên một đường tròn (các điểm này đôi một phân biệt). Chứng minh rằng tồn tại một cách vẽ $n$ đoạn thẳng từ $2n$ điểm đó, mỗi đoạn có một đầu mút xanh, một đầu mút đỏ sao cho các đoạn đó đôi một không có điểm chung.
Câu 3: Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác bất kì. Chứng minh rằng: $a^3+b^3+c^3<(a+b)(b+c)(c+a)$.
Câu 4: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$. Trên đường thẳng đi qua $A,B$ và vuông góc với $AB$ lần lượt lấy điểm $P$ và $Q$ sao cho $AP=AC,BQ=BC$( $P,Q$ nằm khác phía $C$ đối với đường thẳng $AB$). Các đường thẳng $CP$ và $CQ$ cắt $AB$ lần lượt tại $M$ và $N$.
a) Chứng minh rằng: $BM=BC$.
b) Các đường thẳng $AQ$ và $BP$ cắt nhau tại $I$. Chứng minh rằng $CI$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $MN$.
Câu 5: Một số nguyên dương $n$ được gọi là "đẹp" nếu nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i) $n$ có ít nhất $4$ ước số nguyên dương.
ii) Với mọi $a,b$ là ước số của $n$ sao cho $1<a<b<n$ thì $b-a$ cũng là ước số của $n$.
a) Chứng minh rằng số $n=2019^{2018}$ không là số đẹp.
b) Tìm tất cả các số nguyên dương đẹp.