Đề Thi HSG Quận Hà Đông 2018-2019
4/
1.Dễ dàng chứng minh được $\Delta AED \sim \Delta ABC$
Ta có $\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\frac{AD^2}{AC^2}.\frac{AH^2}{AH^2}=sin^2B.sin^2C$
2.Ta có $\frac{DE}{BC}=sinB.sinC$(suy ra từ câu trước)
Kẻ BF, CK lần lượt là 2 đường cao của $\Delta ABC$
$\Leftrightarrow DE= sinB.sinC.BC$
$\Leftrightarrow 2DE=2sinB.sinC.BC$
$=sinB.sinC.BC+sinB.sinC.BC$
$=KC.sinC+BF.sinB$
$=\frac{AH.BF}{AB}+\frac{AH.KC}{AC}$
$=2AH.sinA$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 11-11-2018 - 21:04
Trăm năm Kiều vẫn là Kiều
Sinh viên thi lại là điều tất nhiên.
4/
3.Giả sử tam giác ABC đều thì ta có đpcm
Tam giác ABC không đều, xét $\widehat{B} < 60^0$
Vẽ đường thẳng vuông góc với AI tại I cắt AB, AC tại M,N.
Từ B vẽ đường thẳng song song với MN cắt AC tại D.
Dễ dàng chứng minh được $\Delta AMN$ và $\Delta ABD$ là tam giác đều có AI là trục đối xứng.
Ta có $\frac{AI}{AM} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\frac{\sqrt{3}}{AI}=\frac{2}{AM}$
Cần chứng minh $\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC} = \frac{2}{AM} = \frac{2}{AN}$
Ta có $\frac{AB}{BI}=\frac{AC}{CI} \Leftrightarrow AB= \frac{BI.AC}{CI}$
Nên $\frac{1}{AB} + \frac{1}{AC}= \frac{CI}{BI.AC}+\frac{1}{AC} = \frac{BC}{BI.AC}$
Mà $\frac{BC}{BI}=\frac{DC}{DN}$ nên ta có $\frac{BC}{BI.AC}=\frac{DC}{DN.AC}$
Suy ra cần chứng minh: $\frac{DC}{DN.AC}=\frac{2}{AM}$
$\Leftrightarrow DC.AM=2.DN.AC$
Mặt khác, ta có $\widehat{CIN}=\widehat{DIN} \Rightarrow $3.3.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ThuanTri: 12-11-2018 - 21:34
Trăm năm Kiều vẫn là Kiều
Sinh viên thi lại là điều tất nhiên.
Bài 4:
3,
Áp dụng định lý cosin. Ta có:
$IC^2=AI^2+AC^2- 2.cos \widehat{A}.AI.AC=IC^2=AI^2+AC^2- 2.cos60^{\circ}.AI.AC$
$IC^2=AI^2+AC^2- \sqrt{3}.AI.AC (1)$
Tương tự CM được:
$IB^2=AI^2+AB^2- \sqrt{3}.AI.AB (2)$
Từ (1) và (2) Suy ra:
$ (\frac{IB}{IC})^2= \frac{AI^2+AB^2-\sqrt{3}.AI.AB}{AI^2+AC^2- \sqrt{3}.AI.AC}$
$ <=> \frac{AB^2}{AC^2}= \frac{AI^2+AB^2-\sqrt{3}.AI.AB}{AI^2+AC^2- \sqrt{3}.AI.AC}$
$ <=> AB^2.(AI^2+AC^2- \sqrt{3}.AI.AC)=AC^2.(AI^2+AB^2-\sqrt{3}.AI.AB)$
$...=> (AB+AC).AI= \sqrt{3}.AB.AC<=> \frac{ \sqrt{3}}{AI}= \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$
Suy ra ĐPCM.
Ý 1 bài 3 làm thế nào nhỉ các bạn
$\sum \sqrt{\binom{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}} =\binom{ab+2c^{2}}{\sqrt{1+ab-c^{2}}\sqrt{ab+2c^{2}}} \geq \binom{2(ab+2c^{2})}{1+ab - c^{2} +ab + 2c^{2}} \geq \binom{2ab+4c^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+ c^{2})}= ab +2c^{2} \rightarrow tt \rightarrow dpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Callmebop: 25-11-2018 - 20:02
$$\sum \sqrt{\binom{ab+2c^{2}}{1+ab-c^{2}}} =\binom{ab+2c^{2}}{\sqrt{1+ab-c^{2}}\sqrt{ab+2c^{2}}} \geq \binom{2(ab+2c^{2})}{1+ab - c^{2} +ab + 2c^{2}} \geq \binom{2ab+4c^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+ c^{2})}= ab +2c^{2$
Đánh xong rồi ấn đâu vậy mọi người )
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh