Xét sự hội tụ của các tích phân
1. $\int_{0}^{1}\frac{\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}}lnx}{x(2-x)}dx$
[Tìm hàm $g$ để áp dụng tiêu chuẩn so sánh]
TPSR tại $0$.
Chú ý phân tích các số hạng mà tử và mẫu bằng 0 hoặc tiến về 0, tiến về $\infty$ khi $x\to 0.$
(Khi các số hạng mà hàm số xác định tại 0 hoặc giới hạn của "số hạng đó" khi $x\to 0$ là một số thực hữu hạn thì loại chúng khỏi "hàm" g. )
Ta sẽ tạm ký hiệu $f\sim g$ nếu $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$ là một số thực khác 0 nào đó.
Khi đó, $\sqrt[5]{x^2+x^5} \sim x^{2/5}\ln x$, và $x(2-x) \sim x.$
Xét $f(x)= \frac{\sqrt[5]{x^2+x^5}\ln x}{x(2-x)}$
Chính vì thế ta chọn hàm $g(x):= \frac{x^{2/5}\ln x}{x}=\frac{\ln x}{x^{3/5}}.$
Đến đây, ta có thể có làm theo một trong hai hướng khác nhau để tìm ra lời giải.
Lời giải 1 (phần đầu+ phần tiếp theo sau).
Ta nhận thấy $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|= \frac{1}{2}\neq 0.$
Áp dụng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn, các TPSR $\int_0^1 |f(x)|dx$ và $\int_0^1 |g(x)|dx$ cùng tích chất hội tụ. Do đó, nếu $\int_0^1 |g(x)|dx$ hội tụ thì $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ.
Đến đây, dùng tích phân từng phần, dùng quy tắc l'Hospital, ta có thể kiểm chỉ ra $\int_0^1 x^{-3/5}\ln xdx$ hội tụ.
Lời giải 2 (phần đầu+ phần tiếp theo sau).
Hàm $g$ vẫn chưa đơn giản. Ta có thể thấy $|\ln x|\ll x^{-\alpha}$, với bất kỳ số thực dương $\alpha$.
Như vậy, ta sẽ cố tình 'đa thức hóa' một cách triệt để (thật ra là 'lũy thừa hóa').
Vì thế ta có thể chọn $h(x)= \frac{1}{x^{3/5+\alpha}}.$ Ngoài ra, ta mong muốn áp dụng được thì chọn $\alpha>0$ sao cho $3/5+\alpha<1$. Thí dụ chọn $\alpha=\frac{1}{5}.$
Vì thế, khi chọn $h(x)= \frac{1}{x^{4/5}},$ ta có
i) Ta nhận thấy $\lim_{x\to 0} \left|\frac{f(x)}{h(x)}\right|=0.$
ii) $\int_0^1 h(x)dx$ hội tụ.
Áp dụng tiêu chuẩn so sánh dạng giới hạn, nếu $\int_0^1 |h(x)|dx$ hội tụ thì $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ.
Suy ra $\int_0^1 f(x)dx$ hội tụ.
Em thử áp dụng để giải bài 2!