Chủ đề này có 1 trả lời

[Winter Is Coming]

CMR

1. \[C_{20}^1 + C_{20}^3 + C_{20}^5 + ... + C_{20}^{17} + C_{20}^{19} = {2^{19}}\]

2. \[{\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n\]

 

 

 

                                 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Winter Is Coming: 07-02-2019 - 09:05

[Nobodyv3]

Lời giải

Có nhiều cách chứng minh, sau đây xin trình bày 1 trong những cách đó.
1/ Xét đa thức $f(x)=(1+x)^n$ thì:
$$f(1)= C_{0}^{n}+C_{1}^{n}+...+C_{n}^{n}=2^n$$
$$f(-1)= C_{0}^{n}-C_{1}^{n}+...-C_n^{n-1}+C_{n}^{n}=0$$ (với $n$ chẵn).
$$\Rightarrow \frac {f(1)-f(-1)}{2}= C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+...+C_{n}^{n-1}=2^{n-1}$$
Do đó, với $n=20$ ta được :
$$C_{20}^1 + C_{20}^3 + C_{20}^5 + ... + C_{20}^{17} + C_{20}^{19} = {2^{19}}$$
2/ Dùng hàm sinh :
Đa thức $f(x)=(1+x)^{2n}$ có hệ số của $x^n$ là $C_{2n}^{n}$ $(1)$
Hai đa thức $g(x)=h(x)=(1+x)^n$ có hệ số là $a_k=b_k=C_{n}^{k}$
Hệ số của $x^n$ trong $g(x).h(x)$ là :
$$a_0b_n+a_1b_{n-1}+...+a_nb_0={\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} \qquad (2)$$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta được :
$${\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + ... + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 06-04-2023 - 00:11