Cho các số thực dương a,b,c mà abc=1. Chứng minh rằng :$\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leqslant 1$
$\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leqslant 1$
#1
Đã gửi 24-02-2019 - 17:48
#2
Đã gửi 24-02-2019 - 18:19
Cho các số thực dương a,b,c mà abc=1. Chứng minh rằng :$\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leqslant 1$
Do $a,b,c>0$ và thỏa mãn $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho $(a;b;c)=(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x})$.
Khi đó $\sum \frac{1}{2+a}\le 1\iff \sum \frac{y}{x+2y}\le 1\iff \sum \frac{2y}{x+2y}\le 2 \iff \sum (1-\frac{2y}{x+2y})\ge 1\sum\frac{x}{x+2y}\ge 1$.
Thật vậy, ta có: $\sum \frac{x}{x+2y}=\sum \frac{x^2}{x^2+2xy}\ge \frac{(x+y+z)^2}{\sum x^2+2\sum xy}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 24-02-2019 - 18:20
- Kitaro1006 yêu thích
#3
Đã gửi 29-03-2021 - 11:11
Ta có: $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\leqslant 1\Leftrightarrow \frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}+\frac{2}{2+c}\leqslant 2\Leftrightarrow (1-\frac{2}{2+a})+(1-\frac{2}{2+b})+(1-\frac{2}{2+c})\geqslant 1\Leftrightarrow \frac{a}{a+2} +\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\geqslant 1\Leftrightarrow \frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\geq 1$
Đặt $(\frac{2}{a},\frac{2}{b},\frac{2}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $xyz=\frac{8}{abc}=8$
Ta cần chứng minh: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geqslant 1 (*)$
Thật vậy: $(*)\Leftrightarrow x+y+z+2\geqslant xyz$ *đúng do xyz = 8*
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1
- alexander123 yêu thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh