Chủ đề này có 3 trả lời

[Nghiapnh1002]

Cho số phức $z$ thoả mãn điều kiện $\left | z+2-i \right |-\left | z-2-3i \right |=2\sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left | z \right |$.

P/s: Thông cảm mình không biết post câu này ở đâu nên post tạm trong đây

[chanhquocnghiem]

Cho số phức $z$ thoả mãn điều kiện $\left | z+2-i \right |-\left | z-2-3i \right |=2\sqrt{5}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left | z \right |$.

P/s: Thông cảm mình không biết post câu này ở đâu nên post tạm trong đây

Gọi $O$ là gốc tọa độ ; $M,M_1,M_2$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z;z+2-i;z-2-3i$

$OM_1-OM_2=\left | z+2-i \right |-\left | z-2-3i \right |\leqslant \left | 4+2i \right |=2\sqrt5$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $O$ thuộc tia đối của tia $M_2M_1$. Khi đó $O$ là điểm biểu diễn số phức $z-(2+2t)-(3+t)i$ ($t\geqslant 0$)

$\Leftrightarrow z=(2+2t)+(3+t)i\Leftrightarrow \left | z \right |=\sqrt{(2+2t)^2+(3+t)^2}\geqslant \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

[Nghiapnh1002]

Gọi $O$ là gốc tọa độ ; $M,M_1,M_2$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức $z;z+2-i;z-2-3i$

$OM_1-OM_2=\left | z+2-i \right |-\left | z-2-3i \right |\leqslant \left | 4+2i \right |=2\sqrt5$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $O$ thuộc tia đối của tia $M_2M_1$. Khi đó $O$ là điểm biểu diễn số phức $z-(2+2t)-(3+t)i$ ($t\geqslant 0$)

$\Leftrightarrow z=(2+2t)+(3+t)i\Leftrightarrow \left | z \right |=\sqrt{(2+2t)^2+(3+t)^2}\geqslant \sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$

Mình không hiểu đoạn này. Chẳng phải O là gốc toạ độ sao ? Và tại sao O lại có thể biểu diễn như thế chứa

[chanhquocnghiem]

Mình không hiểu đoạn này. Chẳng phải O là gốc toạ độ sao ? Và tại sao O lại có thể biểu diễn như thế chứa

Hãy hình dung lúc đầu ta chỉ biết vị trí của $M,M_1,M_2$ (3 điểm này xem như cố định rồi), còn $O$ là gốc tọa độ, nhưng nằm ở đâu thì ta chưa biết.

Dù $O$ ở đâu thì ta cũng luôn có $OM_1-OM_2=|z+2-i|-|z-2-3i|\leqslant |4+2i|=2\sqrt5$.

Nhưng đề bài cho $OM_1-OM_2=2\sqrt5$. Điều này chứng tỏ $O$ phải nằm trên tia đối của tia $M_2M_1$ (Để cho dễ hiểu, hãy tưởng tượng $A$ và $B$ là 2 điểm cố định, $C$ là điểm chưa biết. Ta luôn có $CA-CB\leqslant AB$. Dấu bằng chỉ xảy ra khi $C$ nằm trên tia đối của tia $BA$, đúng không ?)

Mà $M_1$ biểu diễn số phức $z+2-i$ ; $M_2$ biểu diễn số phức $z-2-3i\Rightarrow \overrightarrow{M_1M_2}=\left ( -4;-2 \right )$

Còn $O$ nằm trên tia đối của tia $M_2M_1$ nhưng chưa xác định vị trí. Chính vì nằm trên tia đối của tia $M_2M_1$ nên $O$ sẽ biểu diễn số phức $z-2-4u-3i-2ui$ (với $u\geqslant 0$). Hoặc nếu ta đặt $t=2u$ thì $O$ biểu diễn số phức $z-(2+2t)-(3+t)i$

Mà $O$ là gốc tọa độ, biểu diễn số $0$ nên suy ra $z-(2+2t)-(3+t)i=0$, hay $z=(2+2t)+(3+t)i$ với $t\geqslant 0$. Từ đó tính được GTNN của $|z|$