Cho a,b là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2,(a,b)=1.CMR nếu m,n là hai số nguyên dương thỏa mãn an +bn là ước của am +bm thì n là ước của m
Làm giúp mình với!
#1
Đã gửi 06-07-2019 - 09:07
#2
Đã gửi 06-07-2019 - 15:58
Cho a,b là các số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 2,(a,b)=1.CMR nếu m,n là hai số nguyên dương thỏa mãn an +bn là ước của am +bm thì n là ước của m
dễ thấy m $\ge$ n ,đặt m =nk+q (k;q$\epsilon$N*; 0$\le$q<n) ; giả sử a$\ge$b
ta có $a^{n}+b^{n}|a^{m}+b^{m}; a^{n}+b^{n}|(a^{n}+b^{n})a^{m-n} =>a^{n}+b^{n}|b^{m}-b^{n}a^{m-n}=b^{n}(b^{m-n}-a^{m-n})$
mà $\left ( a^{n}+b^{n} ;b^{n}\right )=1 =>a^{n}+b^{n}|a^{m-n}-b^{m-n}=a^{n(k-1)+q}+b^{n(k-1)+q)}$
tiếp tục lặp lại quá trình trên k-1 lần nữa , ta có $a^{n}+b^{n}|a^{n(k-k)+q}-b^{n(k-k)+q}=a^{q}-b^{q}$
mà $a^{q}-b^{q}< a^{n}+b^{n}\Rightarrow a^{q}-b^{q}=0$
lại có a,b $\ge$2 ; (a,b)=1=>a$\neq$b=> q =0 hay n | m
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh