Đề thi Olympic 30/4 môn Toán khối 10 năm 2021
Bài 1: Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác có chu vi là $2$. Chứng minh rằng:
\[2\sqrt 2 + \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc}}{6} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{b^2} + {c^2}} + \sqrt {{c^2} + {a^2}} < 2\sqrt 3 \]
Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = y + 1\\
{y^2} - 1 = z + 1\\
{z^2} - 1 = x + 1
\end{array} \right.\]
Chứng minh rằng $x+y+z$ là số nguyên.
Bài 3: Với mỗi số nguyên $n \ge 2$, xét một bảng gồm $(2n - 1) \times (2n-1)$ ô vuông. Người ta viết các số $-1, 0, 1$ vào mỗi ô vuông sao cho với mọi bảng con $2 \times 2$, ta luôn tìm được 3 ô sao cho tổng các số viết trên mỗi ô vuông này bằng $0$. Đặt $S_n$ là giá trị lớn nhất của tổng các số được viết trên bảng.
(a) Chứng minh rằng $S_2=5$.
(b) Chứng minh rằng $S_n = n^2+n-1$.
Bài 4:
(a) Chứng minh rằng tồn tại hai cặp số $(a,b)$ sao cho $a,b$ là những số nguyên dương thỏa mãn:
$$a^2 + 3b^2 = 7^9$$
(b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình
$$x^2 + y^2 + xy= 7^n$$
có nghiệm trong tập các số nguyên không chia hết cho $7$.
Bài 5: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia $AO$ cắt $BC$ tại $L$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$. Tiếp tuyến tại $A'$ của đường tròn ngoại tiếp $A'BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$.
(a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $A'BD, A'CE, A'AL$ đồng quy tại một điểm khác $A'$.
(b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác $ABC, JDE$ tiếp xúc nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 04-04-2021 - 17:08
Gõ LaTeX của đề