Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
a. Chứng minh: DM vuông góc với SN.
b. Giả sử AN cắt DM tại I. Tính khoảng cách từ I tới mặt phẳng (SCD) biết góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng $45^{\circ}$ .
Ta có $\Delta ABN=\Delta DAM\Rightarrow \widehat{BAN}=\widehat{ADM}\Rightarrow \widehat{BAN}+\widehat{AMD}=90^o\Rightarrow DM\perp AN\Rightarrow DM\perp SN$ (định lý $3$ đường vuông góc)
Gọi $AN\cap CD=E$.
$\Delta AIM\sim \Delta EID\Rightarrow \frac{AI}{EI}=\frac{AM}{ED}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{EI}{EA}=\frac{EI}{EI+AI}=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$.
$\left ( \widehat{SC,(ABCD)} \right )=45^o\Rightarrow AS=AC=a\sqrt2$.
Kẻ $AH\perp SD$ ($H\in SD$) $\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt6}{3}$ (áp dụng hệ thức lượng với $AS=a\sqrt2$)
$\left\{\begin{matrix}AH\perp SD\\AH\perp CD \end{matrix}\right.\Rightarrow AH\perp (SCD)\Rightarrow d_{A,(SCD)}=AH$
$\frac{EI}{EA}=\frac{4}{5}\Rightarrow d_{I,(SCD)}=\frac{4}{5}\ d_{A,(SCD)}=\frac{4}{5}\ AH=\frac{4\sqrt6}{15}\ a$.