$$\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1}{\arcsin x+ 2\arctan^{2}x}= {\it ?}\end{equation}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-06-2021 - 13:41
$$\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1}{\arcsin x+ 2\arctan^{2}x}= {\it ?}\end{equation}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 26-06-2021 - 13:41
Ta có được
$$\lim_{x\rightarrow 0}\!\left ( \!\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1 \right )\!= \lim_{x\rightarrow 0}\!\left ( \arcsin x+ 2\arctan^{2}x \right )\!= 0$$
Nên theo quy tắc l'Hôpital
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1}{\arcsin x+ 2\arctan^{2}x}= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{6}{5\left ( 1+ 3x \right )^{3/5}}}{\frac{1}{\sqrt{1- x^{2}}}+ \frac{4\arctan x}{1+ x^{2}}}= \frac{6}{5}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 22-06-2021 - 18:56
$$\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\sqrt[5]{\left ( 1+ 3x \right )^{2}}- 1}{\arcsin x+ 2\arctan^{2}x}= {\it ?}\end{equation}$$
Em có một lời giải khác cũng khá đẹp ạ.
$\sqrt[5]{(1+3x)^2}-1=\sqrt[5]{1+6x+9x^2}-1 \sim \dfrac{1}{5}(6x+9x^2) \sim \dfrac{1}{5}(6x)$ khi $x \to 0$
$\arcsin x \sim x$ và $2\arctan^2x \sim 2x^2$ khi $x \to 0$ (vì $\arctan x \sim x, x \to 0$ bình phương hai vế và nhân $2$ $\Rightarrow 2\arctan^2 x \sim 2x^2, x \to 0$ )
Nên $\arcsin x +2\arctan^2 x \sim \arcsin x \sim x$ khi $ x \to 0$
Vậy giới hạn ban đầu trở thành
$$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{\sqrt[5]{(1+3x)^2}-1}{\arcsin x +2\arctan^2 x} = \lim_{x \to 0}\dfrac{\dfrac{6}{5}x}{x}=\dfrac{6}{5}$$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 19-02-2024 - 21:11
$$ \text{NDMTvĐA} \ \ f \sim g \Leftrightarrow g \sim f$$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh