Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $I$ và $K$ thứ tự là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và$AC$. Đặt $AB=c;AC=b$
a/ tính $AI$,$AK$ theo b,c
b/ chứng minh rằng: $\frac{BI}{CK}=\frac{c^3}{b^3}$
Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $I$ và $K$ thứ tự là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và$AC$. Đặt $AB=c;AC=b$
a/ tính $AI$,$AK$ theo b,c
b/ chứng minh rằng: $\frac{BI}{CK}=\frac{c^3}{b^3}$
Cho $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Gọi $I$ và $K$ thứ tự là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và$AC$. Đặt $AB=c;AC=b$
a/ tính $AI$,$AK$ theo b,c
b/ chứng minh rằng: $\frac{BI}{CK}=\frac{c^3}{b^3}$
Lời giải:
a) Áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{ABC}$ vuông tại $A$. Ta có: $\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}$
Nên từ đây ta suy ra được: $AH^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\implies AH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}$
Tiếp tục, áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{AHB}$, ta có: $AH^2=AI.AB\implies AI=\frac{AH^2}{AB}=\frac{\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}}{c}=\frac{b^2c}{b^2+c^2}$
Tương tự, áp dụng hệ thức lượng vào $\triangle{AHC}$, ta có: $AH^2=AK.AC\implies AK=\frac{AH^2}{AC}=\frac{\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}}{b}=\frac{bc^2}{b^2+c^2}$
b)
Ta có: $BI = AB-AI = c -\frac{b^2c}{b^2+c^2} = \frac{c(b^2+c^2)-b^2c}{b^2+c^2}=\frac{c^3}{b^2+c^2} $
và : $CK = AC-AK = b -\frac{bc^2}{b^2+c^2} = \frac{b(b^2+c^2)-bc^2}{b^2+c^2}=\frac{b^3}{b^2+c^2} $
Nên từ đây ta suy ra được $\frac{BI}{CK}=\frac{\frac{c^3}{b^2+c^2}}{\frac{b^3}{b^2+c^2} } = \frac{c^3}{b^2+c^2} . \frac{b^2+c^2}{b^3}=\frac{c^3}{b^3}$
Vậy ta có điều phải chứng minh !
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh