Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$T=\frac{a^4}{b^4(5-3\sqrt[3]{a})}+\frac{b^4}{c^4(5-3\sqrt[3]{b})}+\frac{c^4}{a^4(5-3\sqrt[3]{c})}$$.
Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$T=\frac{a^4}{b^4(5-3\sqrt[3]{a})}+\frac{b^4}{c^4(5-3\sqrt[3]{b})}+\frac{c^4}{a^4(5-3\sqrt[3]{c})}$$.
Ta sẽ chứng minh $VT\geq \frac{3}{2}$.
Ký hiệu $\sum$ là tổng hoán vị theo ba biến $a,b,c$
Bổ đề 1: Với mọi $a,b,c>0$, ta có
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(a+b+c)^{2}}.$$
Chứng minh.
Bổ đề 2: Với mọi $a,b,c>0$, ta có BĐT: $$\frac{a}{7a+b+c}+\frac{b}{7b+c+a}+\frac{c}{7c+a+b}\geq \frac{bc+ca+ab}{(a+b+c)^{2}}.$$
Chứng minh.
Trở lại bài toán. Áp dụng BĐT C-S:
$$VT\geq \frac{\left(\sum \dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right)^{2}}{15-3\left(\sum \sqrt[3]{a}\right)}.$$
Ta cần chứng minh $$2\left(\sum \dfrac{a^{2}}{b^{2}}\right)^{2}+9\left(\sum \sqrt[3]{a}\right)\geq 45.$$
Do $\sum \dfrac{a^{2}}{b^{2}}\geq \sum \frac{a}{b}\geq 3$ và $\sum \sqrt[3]{a}\geq 3\left(\sum \frac{a}{2a+1}\right)=9\left(\sum \frac{a}{7a+b+c}\right)\geq \frac{9(\sum bc)}{(\sum a)^{2}}$ (bổ đề 2) nên cuối cùng ta cần chứng minh
$$2\left(\sum \frac{a}{b}\right)+\frac{27(\sum bc)}{(\sum a)^{2}}\geq 15.$$
Sử dụng bổ đề 1 và BĐT AM-GM ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra chỉ khi $a=b=c$. $\square$
PS: Từ bổ đề 1 ta có cách chứng minh một kết quả mạnh hơn là
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{21(bc+ca+ab)}{(a+b+c)^{2}}\geq 10$$
bằng cách sử dụng đẳng thức
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{21(bc+ca+ab)}{(a+b+c)^{2}}-10=\frac{1}{(a+b+c)^{2}}\left[\sum \frac{(a-b)^{2}(b-2c)^{2}}{bc}\right]\geq 0.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 13-07-2021 - 17:46
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh