Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi IMO 2021


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 21-07-2021 - 06:47

Đề thi IMO 2021 (Bản tiếng Việt)
 
Ngày thứ nhất:
Câu 1: Cho $n\geq 100$. Toshi viết mỗi số $n,n+1,n+2,...,2n$ lên một thẻ khác nhau. Anh ta tráo $n+1$ tấm thẻ này và chia làm 2 phần. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phần có chứa 2 tấm thẻ với tổng của hai số trên đó là một số chính phương.
 
Câu 2: Chứng minh rằng bất đẳng thức
$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i-x_j|}\leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i+x_j|}$$ đúng với mọi số thực $x_1,x_2,...,x_n$.
 
Câu 3: Cho điểm $D$ nằm trong tam giác nhọn $ABC$ với $AB>AC$ sao $\angle DAB = \angle CAD$. $E$ nằm trên đoạn thẳng$AC$ sao cho $\angle ADE=\angle BCD$, điểm F nằm trên đoạn thẳng $AB$ sao cho $\angle FDA=\angle DBC$ và điểm $X$ nằm trên đường thẳng $AC$ sao cho $BX=CX$. Gọi $O_1, O_2$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$, $EXD$.Chứng minh rằng các đường thẳng $BC,EF$ và $O_1O_2$ đồng quy.
 
Ngày thứ 2:
Câu 4: Cho đường tròn $\Gamma$ có tâm $I$, và tứ giác lồi $ABCD$ sao cho mỗi đoạn thẳng $AB,BC,CD$ và $DA$ đều tiếp xúc với $\Gamma$. Gọi $\Omega$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$. Tia $BA$ cắt $\Omega$ tại $X$ (không thuộc đoạn thẳng $BA$), tia $BC$ cắt $\Omega$ tại $Z$ (không thuộc đoạn thẳng $BC$). Tia $AD$ và $CD$ lần lượt cắt $\Omega$ tại $Y$ (không thuộc đoạn thẳng $AD$) và $T$ (không thuộc đoạn thẳng $CD$). Chứng minh rằng: $$AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC$$
 
Câu 5: Hai chú sóc, Grace và Jumpy, đi nhặt $2021$ hạt dẻ cho mùa đông. Jumpy đánh số các hạt dẻ từ $1$ đến $2021$, và đào $2021$ cái lỗ nhỏ theo hình vòng tròn quanh một gốc cây yêu thích của nạn. Sáng hôm sau, Jumpy phát hiện ra rằng Grace đã bỏ mỗi lỗ nhỏ một hạt dẻ nhưng không để ý đến các số ghi trên các hạt dẻ. Jumpy quyết định sắp xếp lại các hạt dẻ bằng cách thực hiện một dãy gồm $2021$ bước. Trong bước thứ $k$, Jumpy đổi chỗ hai hạt dẻ ở ngay bên cạnh của hạt dẻ được đánh số $k$. Chứng minh rằng tồn tại giá trị $k$ sao cho ở bước thứ $k$, Jumpy đổi chỗ hai hạt dẻ được đánh số $a$ và $b$ với $a<k<b$.
 
Câu 6: Cho $m\geq 2$ là một số nguyên. $A$ là một tập hợp hữu hạn các số nguyên (không nhất thiết dương), và $B_1,B_2,B_3,...,B_m$ là các tập con của $A$. Giả sử với mỗi số $k=1,2,...,m$, tổng các phần tử của $B_k$ là $m^k$. Chứng minh rằng $A$ chứa ít nhất $m/2$ phần tử.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcoVietnam02: 21-07-2021 - 15:35


#2 tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 52 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-07-2021 - 10:21

Không biết các bạn có bị lỗi font không, nhưng em bị lỗi nên đăng lại ảnh ạ:

215022416_219177270100034_56321552740901

217397190_219177550100006_44836918198508

Nguồn: https://www.facebook...219177643433330

Remark


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 21-07-2021 - 10:26


#3 KietLW9

KietLW9

    Thượng úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1239 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trãi ★ CHUYÊN TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, HÌNH HỌC★
  • Sở thích:Bóng đá, Học toán(Bất đẳng thức, Hình học), Bayern Munich, Lewandowski, Aphonso Davies, Gnabry, Kimmich, Neuer

Đã gửi 21-07-2021 - 10:35

Không biết các bạn có bị lỗi font không, nhưng em bị lỗi nên đăng lại ảnh ạ:

215022416_219177270100034_56321552740901

217397190_219177550100006_44836918198508

Nguồn: https://www.facebook...219177643433330

Remark

Em cũng bị lỗi như anh!


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 


#4 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 21-07-2021 - 10:58

Em cũng bị lỗi như anh!

 

Uk, kiểu lệch qua bên trái hết XD



#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4279 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 23-07-2021 - 13:36

Bài 1:

Mình chưa làm ra nhưng chỉ có cái hướng như sau :)

Nếu hai số $n+i$ và $n+j (0\le i < j \le n)$ có tổng là một số chính phương $m^2$ thì $2n + 1 \le m^2 \le 4n - 1 \Rightarrow LB = \lceil \sqrt{2n+1} \rceil \le m \le \lfloor \sqrt{4n - 1}\rfloor = UB$.

Với $n \ge 100$ thì đoạn $[LB;UB]$ sẽ có ít nhất 5 số nguyên.

Ý tưởng là tìm một bộ 3 số $(a;b;c)$ sao cho tồn tại 3 số nguyên $x;y;z \in [LB;UB]$ để $a+b=z^2; b+c=x^2; c+a=b^2$. Tại sao 3 số? Vì theo Dirichlet, sẽ có ít nhất hai số cùng một tập (chồng thẻ), thì ta có đpcm.

Một tí đại số sẽ cho ra: \[a = \frac{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}}{2};b = \frac{{{x^2} + {z^2} - {y^2}}}{2};c = \frac{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}}{2}\]

Tới đây thì dễ thấy trong $x,y,z$ phải có một số chẵn và hai số còn lại cùng tính chẵn lẻ. Câu hỏi là giờ chọn thế nào trong đoạn $[LB;UB]$? :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 pcoVietnam02

pcoVietnam02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn - Khánh Hòa
  • Sở thích:Phương trình hàm, dãy số, tổ hợp

Đã gửi 24-07-2021 - 10:30

217951992_544984973371375_16446319488825






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh