1 reply to this topic

[DBS]

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \sqrt[4]{108(a+b+c)}$$

Edited by DBS, 25-07-2021 - 09:42.

[DBS]

Áp dụng BĐT Holder, ta có: $(1+3)(1+3)(1+3)(a^4+3)\geq (a+3)^4$

$\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}\geq \frac{a+3}{\sqrt[4]{64}}$

Chứng minh các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

$\sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{a+b+c+9}{\sqrt[4]{64}}$

Hơn nữa, áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta được:

$a+b+c+9=(a+b+c)+3+3+3\geq 4\sqrt[4]{27(a+b+c)}$

$\Rightarrow \sqrt[4]{a^4+3}+\sqrt[4]{b^4+3}+\sqrt[4]{c^4+3}\geq \frac{4\sqrt[4]{27(a+b+c)}}{\sqrt[4]{64}}=\sqrt[4]{108(a+b+c)}$