Mở rộng 1 tí
Nếu như thay giả thiết bằng
Gọi $(I)$ là đường tròn cố định đi qua $B,C$. $(I)$ cắt $AC, AB$ tại $E, F. BE$ cắt $CF$ tại $H, AH$ cắt $(O)$ tại $P. EF$ cắt $BC$ tại $Q.$
Thì tâm $(APQ)$ có còn thuộc 1 đường cố định không ?
Cmđ $AQPM$ nội tiếp
$Q'$ đối xứng $Q$ qua tâm $J\equiv$ tâm $(APQ)$
Có $MJ$ đi qua trung điểm $QQ' \Rightarrow \widehat{QMQ'}=90$
Tương tự $\widehat{QAQ'}=90$ nên $AQPQ'$ nội tiếp $\Rightarrow AQLQ'$ nội tiếp
Có $OJ \perp AP$ do $AP$ là tđp của $(O)$ và $(J)$
$QF\perp AP$ theo Brocard trong tgtp $EFBC.AQ$
suy ra $OJ//QF \Rightarrow Q'$ đx $F$ qua $O \Rightarrow Q'$ cố định
tâm $(AQP)$ nằm trên trung trục $Q'M$ nên ẻm cũng cố định