Chủ đề này có 1 trả lời

[Lemonjuice]

Mọi người cho em hỏi là có công thức nào tương tự nhị thức newton để triển khai $a^{n}-b^{n}$ với n là số hữu tỉ không ạ. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 17-08-2021 - 13:34

[chanhquocnghiem]

Mọi người cho em hỏi là có công thức nào tương tự nhị thức newton để triển khai $a^{n}-b^{n}$ với n là số hữu tỉ không ạ. 

Công thức tổng quát $X^k-Y^k=\left ( X-Y \right )\left ( X^{k-1}+X^{k-2}Y+...+Y^{k-1} \right )$

1) $n=0$ (điều kiện $a,b$ khác $0$) : Ta có $a^n-b^n=a^0-b^0=1-1=0$

2) $n$ nguyên dương : Áp dụng CTTQ với $X=a$ ; $Y=b$ ; $k=n$

3) $n$ nguyên âm (điều kiện $a,b$ khác $0$) :

    Đặt $n=-m$ ($m$ nguyên dương)

    $a^n-b^n=a^{-m}-b^{-m}=\left ( \frac{1}{a} \right )^m-\left ( \frac{1}{b} \right )^m$

    Áp dụng CTTQ với $X=\frac{1}{a}$ ; $Y=\frac{1}{b}$ ; $k=m$

4) $n$ dương, không nguyên (điều kiện $a,b$ dương)

    Đặt $n=\frac{p}{q}$ ($p,q$ nguyên dương)

    $a^{\frac{p}{q}}-b^{\frac{p}{q}}=\left ( \sqrt[q]{a} \right )^p-\left ( \sqrt[q]{b} \right )^p$

    Áp dụng CTTQ với $X=\sqrt[q]{a}$ ; $Y=\sqrt[q]{b}$ ; $k=p$

5) $n$ âm, không nguyên (điều kiện $a,b$ dương)
    Đặt $n=-\frac{p}{q}$ ($p,q$ nguyên dương)

    $a^{-\frac{p}{q}}-b^{-\frac{p}{q}}=\left ( \sqrt[q]{\frac{1}{a}} \right )^p-\left ( \sqrt[q]{\frac{1}{b}} \right )^p$

    Áp dụng CTTQ với $X=\sqrt[q]{\frac{1}{a}}$ ; $Y=\sqrt[q]{\frac{1}{b}}$ ; $k=p$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-08-2021 - 17:21