Đến nội dung


Chú ý

Hệ thống gửi email của diễn đàn đang gặp vấn đề với một số tài khoản Gmail do chính sách bảo mật tăng cường của Google. Nếu bạn không nhận được email từ diễn đàn, xin hãy tạm thời dùng một địa chỉ email khác ngoài Gmail (trước hết bạn nên kiểm tra thùng rác hoặc thư mục spam của hộp thư, hoặc dùng chức năng tìm kiếm trong hộp thư với từ khoá "diendantoanhoc.org" để chắc chắn là email không nhận được).

BQT đang cố gắng khắc phục, mong các bạn thông cảm.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

Lý thuyết tập hợp


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-09-2021 - 01:45

QUAN HỆ

Định nghĩa. Cho $X$ là một tập hợp. Một quan hệ hai ngôi trên $X$ là một tập con $R\subseteq X\times X$. Ta ký hiệu sự kiện $(x,y)\in R$ bởi $xRy.$  

 

ÁNH XẠ

Định nghĩa.

(i) Một ánh xạ $f$ từ tập $X$ sang tập $Y$ là một tập con $f\subseteq X\times Y$ thoả mãn với mọi $x\in X,$ tồn tại duy     nhất $y\in Y$ sao cho $(x,y)\in f$. Ta cũng ký hiệu phần tử $y$ này là $f(x).$ 

(ii) Ký hiệu $Hom(X,Y)$ cho tập tất cả các ánh xạ từ $X$ sang $Y$.

 

Định nghĩa. Cho $f:X\to Y$ là một ánh xạ.

(i) Ánh xạ $f$ được gọi là đơn ánh nếu với mọi $x,y \in X$ $f(x)=f(y)$ thì $x=y$.

(ii) Cho $E\subseteq X$. Ảnh của $E$ qua ánh xạ $f$, ký hiệu bởi $f(E)$ là tập tất cả các phần tử $f(x)$ với $x\in E.$ Nếu $E=X,$ ta có thể dùng cách nói ảnh của ánh xạ $f.$

(iii) Nếu ảnh của $f$ bằng toàn bộ $Y$ thì ta nói ánh xạ $f$ là toàn ánh. 

(iv) Một ánh xạ là đơn ánh đồng thời toàn ánh thì được gọi là song ánh.

 

Định nghĩa. Một phép toán hai ngôi trên $X$ là một ánh xạ $X\times X\to X.$  

 

Ví dụ. Ta định nghĩa các phép toán hai ngôi $m$ và $+$ trên $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ như sau:

$$m((a,b),(c,d))=(ac-bd,ad+bc).$$ 

$$+((a,b),(c,d))=(a+c,b+d).$$Ta ký hiệu $+((a,b),(c,d))=(a,b)+(c,d).$

Ta cũng định nghĩa các phép nhân vô hướng:

$$.:\mathbb{R}\times (\mathbb{R}\times \mathbb{R})\to \mathbb{R}\times \mathbb{R},\ (x,(a,b))\mapsto (xa,xb).$$Ký hiệu $.(x,(a,b))=x(a,b).$

Đặt $i=(0,1),$ như vậy mọi $(a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ thoả mãn $(a,b)=a(1,0)+ib$ và $i^2=m(i,i)=-1.$ Như vậy, $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ với các cấu trúc trên tạo thành tập số phức.

 

QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG

Định nghĩa. Một quan hệ tương đương trên tập $X$ là một quan hệ trên $X$ thoả mãn ba tính chất sau:

(1) Phản xạ: Với mọi $x\in X$, ta có $xRx$;

(2) Đối xứng: Với mọi $x,y\in X$, nếu $xRy$ thì $yRx$;

(3) Bắc cầu: Với mọi $x,y\in X$, nếu $xRy$ và $yRz$ thì $xRz$.

Người ta hay ký hiệu quan hệ tương đương bởi $\sim.$

 

Định nghĩa. Nếu $\sim$ là một quan hệ tương đương trên $X$ thì ta có thể định nghĩa tập các lớp tương đương $X/\sim$ như sau. Với mỗi $x\in X,$ một lớp tương đương chứa $x$, ký hiệu bởi $[x]$ là tập hợp tất cả $y\in X$ thoả mãn $y\sim x.$ Từ đó, ta đặt

$$X/\sim=\{[x]\mid x\in X\}.$$ 

 

Ta có thể chứng minh được hai tính chất sau:

(1) $[x]\cap[y]\neq \emptyset$ nếu và chỉ nếu $x\sim y$; 

(2) $x\in [x].$

Do đó, ta có $X=\bigcup_{[x]\in X/\sim} [x].$ Nói cách khác, $X$ được phân hoạch thành họp rời của các lớp tương đương thoả mãn $x, y$ thuộc cùng một lớp tương đương nếu và chỉ nếu $x\sim y.$

 

Ta đưa ra một số ứng dụng của quan hệ tương đương:

 

(i) Xây dựng tập các số hữu tỉ $\mathbb{Q}$.

Ta định nghĩa một quan hệ $R$ trên $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}-\{0\})$ như sau:

$$(a,b)\sim(c,d) \text{ nếu và chỉ nếu } ad-bc=0.$$

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{Q}=(\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}-\{0\}))/\sim.$

 

(ii) Xây dựng tập số thực $\mathbb{R}$.

Một dãy các số hữu tỷ $(x_n)$ với $x_n\in \mathbb{Q}$ được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số hữu tỷ $\epsilon>0,$ tồn tại $N$ sao cho nếu $n, m>N$ thì $|x_n-x_m|<\epsilon.$ Ký hiệu $C$ là tập hợp các dãy Cauchy. Định nghĩa một quan hệ tương đương trên $C$ như sau:

$$(x_n)\sim (y_n) \text{ nếu và chỉ nếu với mọi số hửu tỷ }\epsilon>0,\text{ tồn tại }N \text{ sao cho với mọi }n>N, |x_n-y_n|<\epsilon.$$ 

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{R}=C/\sim.$ Chẳng hạn số vô tỷ $0.123\dots=[(0,0.1,0.12,0.123,\dots)].$ Hoặc $0.(9)=1$ vì dãy $(1-0,1-0.9,1-0.99,1-0.999,\dots)=(1,0.1,0.01,\dots)=(1/10^n\dots)_n$ nên với mọi $\epsilon>0,$ và với mọi $n>N$ với $N$ được chọn sao $10^N>1/\epsilon,$ ta có $1/10^n<\epsilon.$

 

(iii) Tập các lớp thặng dư mod $N$.

Trên tập số nguyên $\mathbb{Z},$ định nghĩa quan hệ tương đương như sau:

$$a\sim b \text{ nếu và chỉ nếu }N|a-b.$$

Từ đó, định nghĩa $\mathbb{Z}/n=\mathbb{Z}/\sim.$ Ta ký hiệu $[k]$ trong $\mathbb{Z}/n$ bởi $\overline{k}.$ Như vậy $\mathbb{Z}/n$ bao gồm $n$ phần tử $\overline{0},\dots,\overline{n-1}.$

 

Theo tinh thần của $(ii),$ ta có thể xây dựng tập các số $p$-adic với mỗi số nguyên tố $p$, các số đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết số (xem bài này https://diendantoanh...hữu-tỉ-lại-khó/

 

(iv) Các số hữu tỷ $p$-adic.

Cho $p$ là một số nguyên tố. Với mọi $x\in \mathbb{Q}-\{0\}$ ta có thể viết lại:

$$x=p^{n} \frac{a}{b},$$thoả mãn $a, b$ không có ước nguyên tố $p.$ Số nguyên $n$ được gọi là định giạ $p$-adic của $x,$ ký hiệu bởi $v_p(x).$ Một dãy Cauchy theo khoảng cách p-adic là một dãy các số hữu tỷ $(x_n)$ thoả mãn với mọi số nguyên dương $E,$ tồn tại $N$ sao cho với mọi $n>N,$ $v_p(x_n)>E.$ Ký hiệu $C$ cho tập tất cả các dãy Cauchy theo khoảng cách $p$-adic. Định nghĩa một quan hệ tương đương trên $C$ như sau:

$$(x_n)\sim (y_n) \text{ nếu và chỉ nếu với mọi số nguyên dương }E,\text{ tồn tại }N \text{ sao cho với mọi }n>N, v_p(x_n-y_n)>E$$ 

Từ đó, ta định nghĩa $\mathbb{Q}_p=C/\sim.$ Chẳng hạn với $p=2$, $(1,1+2,1+2^2,1+2^2+2^3,\dots)$ là một số $2$-adic.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 29-09-2021 - 15:12


#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 637 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-09-2021 - 16:08

BÀI TẬP

Quan hệ tương đương

1. Chứng minh chi tiết các quan hệ trong xây dựng $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{Z}/n$ là quan hệ tương đương.

2. Cho $X$ là một tập hợp với quan hệ tương đương $\sim.$ Chứng minh rằng:

    (i) Tồn tại một ánh xạ $q: X\to X/\sim$;

    (ii) Chứng minh rằng ánh xạ $f \mapsto f\circ q$ cho ta một đơn ánh $Hom(X/\sim,Y)\to Hom(X,Y)$ với ảnh là tập tất cả ánh xạ $f:X\to Y$ thoả mãn $x\sim y$ thì $f(x)=f(y).$

3. Tìm một quan hệ tương đương $\sim$ trên $\mathbb{R}$ sao cho tồn tại một song ánh $R/\sim\to S^1$, trong đó $S^1$ là đường tròn bán kinh đơn vị có tâm tại gốc toạ độ. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 29-09-2021 - 15:11





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh