Chủ đề này có 2 trả lời

[phuc_90]

Bài toán:   Cho $H$ là một nhóm con thật sự của nhóm $G$ hữu hạn.

 

Chứng minh rằng  $\bigcup_{x\in G}x^{-1}Hx \neq G$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_90: 01-10-2021 - 10:20

[poset]

Bài toán:   Cho $H$ là một nhóm con thật sự của nhóm $G$ hữu hạn.

 

Chứng minh rằng  $\bigcup_{x\in G}x^{-1}Hx \neq G$

Gọi $\wp$ là họ các nhóm con của $G$ liên hợp (conjugate) với $H$. Xét tác động (action) của $G$ lên $\wp$ như sau: $g(L)=g^{-1}Lg$. Quỹ đạo (orbit) của $H$ chính là $\wp$, nhóm $H$ ổn định (stable) phần tử $H$ của $\wp$, do đó $H$ là nhóm con của nhóm ổn định $K$ của phần tử $H$, do đó $\left | H \right |\leq \left | K \right |$. Theo định lý quỹ đạo-ổn định (oribt-stabilizer), ta có: $\left | \wp \right |=\frac{\left | G \right |}{\left | K \right |}\leq \frac{\left | G \right |}{\left | H \right |}$.
Ta có: $e\in \bigcap_{L\in \wp}L\Rightarrow \left |\bigcap_{L\in \wp}L \right |>0\Rightarrow \left |\bigcup_{x\in G}x^{-1}Hx \right |=\left | \bigcup_{L\in \wp }L \right |<\sum_{L\in \wp}\left | L \right |=\left | \wp \right |\left | H \right |\leq \frac{\left | G \right |}{\left | H \right |}\left | H \right |=\left | G \right |\Rightarrow \bigcup_{x\in G}x^{-1}Hx\neq G$ ($e$ là phần tử đơn vị của $G$), đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 04-10-2021 - 18:59

[poset]

Bài toán:   Cho $H$ là một nhóm con thật sự của nhóm $G$ hữu hạn.

 

Chứng minh rằng  $\bigcup_{x\in G}x^{-1}Hx \neq G$

Với giả thiết trên, hãy chứng minh $\left | G \right |-\left | \bigcap_{x\in G}x^{-1}Hx \right |\geq \left | H \right |$