Cho đa giác đều $A_1A_2\cdots A_n$ với $n\in \mathbb{N}$ và $n\geqslant 3$ có tâm $O.$ Chứng minh rằng
\[\overrightarrow {OA_1}+\overrightarrow {OA_2}+\cdots +\overrightarrow {OA_n}=\overrightarrow {0} \]
Cho đa giác đều $A_1A_2\cdots A_n$ với $n\in \mathbb{N}$ và $n\geqslant 3$ có tâm $O.$ Chứng minh rằng
\[\overrightarrow {OA_1}+\overrightarrow {OA_2}+\cdots +\overrightarrow {OA_n}=\overrightarrow {0} \]
+) Với n chẵn thì ta chia thành các cặp vecto đối nhau thì có đpcm.
Xét trường hợp n lẻ.
Đặt $\overrightarrow{u}=\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OA_i}$.
Giả sử $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$.
Do các cặp vectơ $\overrightarrow{OA_2},\overrightarrow{OA_n}$;$\overrightarrow{OA_3},\overrightarrow{OA_{n-1}}$;... đối xứng với nhau qua $OA_1$ nên các vectơ $\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_{n-1}};...;\overrightarrow{OA_{\frac{n-1}{2}}}+\overrightarrow{OA_\frac{n+1}{2}}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OA_1}$.
Do đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA_1}$.
Hoàn toàn tương tự ta có $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA_2}$. (vô lí)
Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
+) Với n chẵn thì ta chia thành các cặp vecto đối nhau thì có đpcm.
Xét trường hợp n lẻ.
Đặt $\overrightarrow{u}=\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OA_i}$.
Giả sử $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$.
Do các cặp vectơ $\overrightarrow{OA_2},\overrightarrow{OA_n}$;$\overrightarrow{OA_3},\overrightarrow{OA_{n-1}}$;... đối xứng với nhau qua $OA_1$ nên các vectơ $\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_n},\overrightarrow{OA_3}+\overrightarrow{OA_{n-1}};...;\overrightarrow{OA_{\frac{n-1}{2}}}+\overrightarrow{OA_\frac{n+1}{2}}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{OA_1}$.
Do đó $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA_1}$.
Hoàn toàn tương tự ta có $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{OA_2}$. (vô lí)
Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$.
Mình (em) nghĩ đoạn $\overrightarrow{OA_{\dfrac{n-1}{2}}},\overrightarrow{OA_\dfrac{n+1}{2}}$ đối xứng nhau qua $OA_1$ có gì đó sai sai.
Chẳng hạn lấy $n=7,$ khi đó ta có $OA_3,OA_4$ đối xứng nhau qua $OA_1?$
Tuy nhiên nếu sửa lại là $\overrightarrow{OA_{\dfrac{n-1}{2}}},\overrightarrow{OA_\dfrac{n+5}{2}}$ thì mình thấy nó đúng với $n\ge 5.$ (đã thử $n=5,7,9,11.$)
Edit. Hình như cũng không hẳn là đúng vì nó chưa phải là "cặp cuối cùng". Có lẽ $\overrightarrow{OA_{\dfrac{n+1}{2}}},\overrightarrow{OA_\dfrac{n+3}{2}}$ thì đúng hơn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 05-10-2021 - 20:15
Để ý là nếu một vector $\overrightarrow{u}$ sau phép quay có góc không phải $k2\pi$ mà vẫn là $\overrightarrow{u}$ thì $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$.
Xét phép quay tâm $O$ với góc $(\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2})$ thì vế trái không đổi. Ta có đpcm.
Bn thử lấy trung điểm của 2 cạnh bất kì r cm $\overrightarrow{u}$ cùng phương đường thẳng nối O với 2 tđ này xem
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hunghcd: 06-10-2021 - 10:31
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh