Chủ đề này có 1 trả lời

[pntoi oni10420]

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp $(O)$, $D$ và $E$ thay đổi trên cạnh $AB$, $AC$ sao cho $BD$ = $CE$. $BE$ cắt $CD$ tại $I$, đường thẳng qua $I$ song song với $DE$ cắt $BC$ tại $P$. $AI$ cắt $(O)$ tại $K$. Chứng minh $PK$ luôn đi qua một điểm cố định.
P/s: không biết đã có ở đâu chưa

[Hoang72]

$DE$ cắt $AI$, $BC$ lần lượt tại $G,J$.

$AI$ cắt $BC$ tại $F$.

$PK$ cắt $(O)$ tại $H$.

Ta có $(AH,BC)=K(AH,BC)=K(PF,BC)=I(PF,BC)=I(PG,DE)=(G,ED)=-(J,ED)=-\frac{JE}{JD}$ do $(GJ,ED)=-1$.

Áp dụng định lý Menelaus cho $\Delta ADE$ với cát tuyến $B,C,J$ ta có $\frac{JE}{JD}=\frac{AB}{AC}$.

Mặt khác do $A,H$ khác phía với $BC$ nên $(AH,BC)=-\frac{AB}{AC}:\frac{HB}{HC}$.

Do đó $\frac{HB}{HC}=1$ hay $H$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$.

Vậy $PK$ luôn đi qua một điểm cố định.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 03-01-2022 - 10:59