Bài 38: Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC)$, $E$ và $F$ lần lượt nằm trên $CA, AB$ sao cho $BF=CE$, $BE$ cắt $CF$ tại $K$. $I_1, I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $KBF$ và tam giác $KCE$. Phân giác trong góc $\widehat{BAC}$ cắt $I_1I_2$ tại $L$. Chứng minh $LI_1=KI_2$.
Gọi $D,S$ lần lượt là trung điểm của hai cung $BC$ chứa $A$ và không chứa $A$.
$R$ đối xứng với $S$ qua $BC$. $Q$ là điểm liên hợp đẳng giác của $R$ trong tam giác $KBC$.
Gọi $M,X,Y,G$ lần lượt là trung điểm của $BC,BE,CF,EF$.
Dễ thấy $MXGY$ là hình thoi.
$MG$ cắt $I_1I_2$ tại $J$.
Dựng hình bình hành $KEIF$.
Nhận xét 1: $JL = JK$:
Chứng minh: Ta có $\Delta DBF = \Delta DCE(c.g.c)\Rightarrow \begin{cases} D\in (AEF) \\ DE = DF\end{cases}$.
Kẻ đường kính $DN$ của $(AEF)$.
Sử dụng định nghĩa tỉ số kép dễ dàng chứng minh được $F(AE,IN) = E(AF,IN)$.
Dẫn đến $A,I,N$ thẳng hàng, hay $AI$ là phân giác $\angle BAC$.
Theo tính chất đường trung bình cho tam giác $KIL$, ta có $JK = JL$.
Nhận xét 2: $Q$ thuộc $(KBF)$ và $(KCE)$:
Chứng minh Do $JL=JK$, theo tính chất đường trung bình hình thang ta có $KR\parallel AS$.
Ta có biến đổi góc $(QB,QK) \equiv (QB,BK) + (BK,QK) \equiv (BC,BR) + (KR,KC)\equiv (AB,AS) + (AI,KC) \equiv (AB,KC)\equiv (FB,FK)\pmod \pi$
$\Rightarrow Q\in (KBF)$, tương tự $K\in (KCE)$.
Nhận xét 3: $J,K,X,Y,Q$ đồng viên:
Chứng minh: Do $Q$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $BECF.KA$ nên $Q \in (AFC)\cap (AEB)$.
Do đó xét phép vị tự quay $\mathcal{F}_{Q}$: $\begin{cases} B\mapsto F \\ E\mapsto C\end{cases}$
$\Rightarrow \mathcal{F}_{Q}(X) = Y\Rightarrow (QX,QY)\equiv (QB,QF)\equiv (KB,KF)\equiv (KX,KY)\pmod \pi$
$\Rightarrow Q\in (KXY)$.
Đồng thời do $KJ$ là phân giác ngoài của $\angle XKY$ và $JX=JY$ nên $J\in (KXY)$.
Dẫn đến $J,K,X,Y,Q$ đồng viên.
Nhận xét 4: $JI_1 = JI_2$:
Chứng minh: Cho $I_1I_2$ cắt lại $(KBF)$ và $(KCE)$ tại $U,V$.
Dễ thấy $\Delta UBF=\Delta VCE\Rightarrow UI_1=UB=VC=VI_2$. (1)
Lại có $\frac{\wp_{X/(KBF)}}{\wp_{X/(KCE)}} = -1 = \frac{\wp_{Y/(KBF)}}{\wp_{Y/(KCE)}}$, và đường tròn $(JKXYQ)$ đồng trục với hai đường tròn này nên $\frac{\wp_{J/(KBF)}}{\wp_{J/(KCE)}} = -1$
$\Rightarrow JU = JV$. (2)
Từ (1), (2) ta có $JI_1=JI_2$.
Kết hợp với nhận xét 1 ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang72: 24-08-2022 - 19:23