Xin gửi đến anh chị và các bạn một bài bà con với bài trên :
Hãy viết công thức tính số nghiệm nguyên dương của $$x_{1}+...+x_{k}=n$$
sao cho $x_{i}\notin 3\mathbb{N}$.
Xét phương trình $x_1+x_2+x_3+…+x_k=n$ ($n\geqslant k$)
Gọi $p$ là số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho $n-2k+p\ \vdots\ 3$ ($p$ là số nguyên xác định và $p\in \left \{ 0,1,2 \right \}$)
Gọi $k_1$ là số số hạng ở vế trái có dạng 3t+1. Ta có $k_1=p+3q$ (với $q$ từ $0$ đến $m={ \lfloor \frac{k-p}{3} \rfloor }$)
Xét các trường hợp :
1) $k_1=p$ ($q=0$)
Chọn ra $p$ số hạng có dạng 3t+1 (có $C_k^p$ cách)
Đặt tên lại $p$ số hạng 3t+1 là $a_1,…,a_p$ (chú ý $p$ là số nguyên xác định và $p\in\left \{ 0,1,2\right \}$)
Và $k-p$ số hạng 3t+2 là $b_1,b_2,…,b_{k-p}$. Ta có các trường hợp :
a) $\left\{\begin{matrix} a_1+...+a_p=p\\b_1+b_2+...+b_{k-p}=n-p \end{matrix} \right.$
Theo các bổ đề 1 và 2 trên kia thì hệ này có $C_{p-1}^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-3}{3}}^{k-p-1}$ nghiệm
b) $\left\{\begin{matrix} a_1+…+a_p=p+3\\b_1+b_2+…+b_{k-p}=n-p-3 \end{matrix} \right.$
Hệ này có $C_p^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-6}{3}}^{k-p-1}$ nghiệm.
……………………………………………….
Tổng cộng $C_{p-1}^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-3}{3}}^{k-p-1}+C_p^{p-1}C_{\frac{n+k-2p-6}{3}}^{k-p-1}+…=C_{\frac{n+k+p-3}{3}}^{k-1}$
Vậy trường hợp 1 có $C_k^pC_{\frac{n+k+p-3}{3}}^{k-1}$ nghiệm.
2) $k_1=p+3$ ($q=1$)
Tương tự như trên, tính được trường hợp 2 có $C_k^{p+3}C_{\frac{n+k+p}{3}}^{k-1}$ nghiệm.
…………………………………………………
…………………..…………………………….
m+1) $k_1=p+3m$ ($q=m$)
Cũng tương tự, trường hợp m+1 có $C_k^{p+3m}C_{\frac{n+k+p+3m-3}{3}}^{k-1}$ nghiệm.
Vậy đáp án cuối cùng là $\sum_{q=0}^{\left \lfloor \frac{k-p}{3} \right \rfloor }C_k^{p+3q}C_{\frac{n+k+p+3q-3}{3}}^{k-1}$
(trong đó $p$ là số được xác định như đã nói ở trên)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 04-07-2022 - 10:19