Ta chứng minh $(AHD), (BHE), (CHF)$ đồng trục
Xét phép nghịch đảo cực $H$ phương tích $HA.HT$ ($T$ là chân đường cao từ $A$ tới $BC$) thì ta cần chứng minh $DD', EE', FF'$ đồng quy với $D', E', F'$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc $H$ của $\Delta HEF$, $\Delta HFD$, $\Delta HDE$
Có $\frac{sin\widehat{FDD'}}{sin\widehat{EDD'}}=\frac{D'F}{D'E}.\frac{sin\widehat{D'FD}}{sin\widehat{D'ED}}=\frac{sin\widehat{D'IF}}{sin\widehat{D'IE}}.\frac{sin(\widehat{DFE}+90^{\circ}-\frac{\widehat{HFE}}{2})}{sin(\widehat{DEF}+90^{\circ}-\frac{\widehat{HEF}}{2})}=\frac{sin(90^{\circ}-\frac{\widehat{HEF}}{2})}{sin(90^{\circ}-\frac{\widehat{HFE}}{2})}.\frac{sin(\widehat{DFE}+90^{\circ}-\frac{\widehat{HFE}}{2})}{sin(\widehat{DEF}+90^{\circ}-\frac{\widehat{HEF}}{2})}$
Tương tự cho các cặp còn lại, kết hợp với $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$ nên ta có $DD', EE', FF'$ đồng quy
Vì vậy $(AHD), (BHE), (CHF)$ đồng trục. Do đó $AX, BY, CZ$ sẽ đồng quy tại một điểm nằm trên trục đẳng phương của 3 đường tròn này
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DaiphongLT: 18-07-2022 - 23:17