Cho $a_1,a_2,...,a_n$ là các số thực có tổng bằng $0$ $(n\in\mathbb N; n\geq 2)$, trong đó tồn tại một số bằng $1$.
Đặt $M = \max\left\{|a_1 - a_2|, |a_2-a_3|,...,|a_n-a_1|\right\}$.
Chứng minh rằng: $M\geq \frac{4}{n}$.
Giả sử $a_1=1$ và $M<\frac{4}{n}$, nghĩa là $|a_k-a_{k+1}|<\frac{4}{n}$ với mọi $k=\overline{1,n}$ (xem như $a_{n+1}=a_1$).
$\bullet$ Chứng minh $a_k>1-\frac{4}{n}\min(k-1,n+1-k)$ với mọi $k=\overline{2,n}$.
Vì $\frac{4}{n}>|a_1-a_2|\ge 1-a_2\implies a_2>1-\frac{4}{n}$. Tương tự thì $\frac{4}{n}>|a_2-a_3|\ge a_2-a_3\implies a_3>1-\frac{4\times 2}{n}$. Cứ như vậy ta thu được
Vì $\frac{4}{n}>|a_1-a_n|\ge 1-a_n\implies a_n>1-\frac{4}{n}$. Tương tự thì $\frac{4}{n}>|a_n-a_{n-1}|\ge a_n-a_{n-1}\implies a_{n-1}>1-\frac{4\times 2}{n}$. Cứ như vậy ta thu được
Vì $\sum_{k=2}^{n}a_k=-a_1=-1$ nên bất đẳng cuối tương đương với $\sum_{k=2}^{n}\min(k-1,n+1-k)>\frac{n^2}{4}$. Ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn bằng cách chứng tỏ nhận xét sau
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh