Chủ đề này có 2 trả lời

[Nobodyv3]

1/ Tính tổng các số tự nhiên có các chữ số khác nhau được lập từ $\left \{1,3,5,7 \right \}. $
2/ Có bao nhiêu cách chọn $n$ dấu $\pm$ trong phương trình sau
$$\pm 1\pm 2\pm...\pm n=0$$

[Nobodyv3]

2/ Ta có :
$\sum_{k=1}^{n}\pm k=0$     $(*)$
Vì $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n^2+n}{2}$ nên tổng các số hạng dương và các số hạng âm phải bằng $\frac{n^2+n}{2}$. Do đó, $(*)$ vô nghiệm với  $n\equiv 1,2\!\!\!\!\pmod 4$ (vì với những $n$ này thì $\frac{n^2+n}{4}\notin \mathbb{Z}).$
Số cách chọn n dấu $\pm$ cũng là số nghiệm của $(*)$, đó là hệ số của $x^0$ trong
$\prod_{k=1}^{n}\left ( x^k+x^{-k} \right )$ và bằng
$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\prod_{k=1}^{n} \left ( e^{ikx}+e^{-ikx} \right )dx=\boldsymbol {\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\prod_{k=1}^{n}2\cos(kx)dx}$

[poset]

2/ Ta có :
$\sum_{k=1}^{n}\pm k=0$     $(*)$
Vì $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n^2+n}{2}$ nên tổng các số hạng dương và các số hạng âm phải bằng $\frac{n^2+n}{2}$. Do đó, $(*)$ vô nghiệm với  $n\equiv 1,2\!\!\!\!\pmod 4$ (vì với những $n$ này thì $\frac{n^2+n}{4}\notin \mathbb{Z}).$
Số cách chọn n dấu $\pm$ cũng là số nghiệm của $(*)$, đó là hệ số của $x^0$ trong
$\prod_{k=1}^{n}\left ( x^k+x^{-k} \right )$ và bằng
$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\prod_{k=1}^{n} \left ( e^{ikx}+e^{-ikx} \right )dx=\boldsymbol {\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\prod_{k=1}^{n}2\cos(kx)dx}$

Tích phân trên có giá trị vào khoảng $\frac{2^n\sqrt{6}}{\sqrt{\pi n^3}}$: https://arxiv.org/abs/1210.8437