Chủ đề này có 5 trả lời

[Nobodyv3]

Merry Xmas. Chỉ một bài duy nhất!(Đây là 1 trong những bài mà em khá là tâm đắc.)
=======
Đề bài:(dùng hàm sinh)
Từ các chữ số $0,1,2,...,9$ có thể lập được bao nhiêu xâu có $8$ chữ số thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện :
a) Chữ số $6$ phải xuất hiện $2$ hoặc $3$ lần.
b) Tổng các chữ số là $30$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-12-2022 - 00:44

[chanhquocnghiem]

Merry Xmas. Chỉ một bài duy nhất!(Đây là 1 trong những bài mà em khá là tâm đắc.)
=======
Đề bài:(dùng hàm sinh)
Từ các chữ số $0,1,2,...,9$ có thể lập được bao nhiêu xâu có $8$ chữ số thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện :
a) Chữ số $6$ phải xuất hiện $2$ hoặc $3$ lần.
b) Tổng các chữ số là $30$.

Số xâu có $8$ chữ số có tổng các chữ số là $30$ và chứa $2$ chữ số $6$ là :

$C_8^6\left [ x^{18} \right ](x+x^2+...+x^9-x^6)(1+x+x^2+...+x^9-x^6)^5+C_7^6\left [ x^{18} \right ](1+x+x^2+...+x^9-x^6)^5=28.13662+7.3035=403781$

Số xâu có $8$ chữ số có tổng các chữ số là $30$ và chứa $3$ chữ số $6$ là :

$C_8^5\left [ x^{12} \right ](x+x^2+...+x^9-x^6)(1+x+x^2+...+x^9-x^6)^4+C_7^5\left [ x^{12} \right ](1+x+x^2+...+x^9-x^6)^4=56.1026+21.309=63945$

Đáp án bài toán là $403781+63945=467726$ xâu.

 

[Nobodyv3]

Đặt $ x$ biểu diễn tổng các chữ số, $y$ biểu diễn số chữ số 6 thì hàm sinh là :
$f(x,y)=(x^6)^2\cdot \frac{y^2}{2!}+(x^6)^3\cdot\frac{y^3}{3!}$ Tương tự, hàm sinh cho các chữ số khác chữ số 6 là :
$\begin {align*}
g(x,y)&=\sum_{k\geq 0}\left (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^7+x^8+x^9\right )^k\frac{y^k}{k!}\\
&=\sum_{k\geq 0}\left ( \frac {1-x^{10}}{1-x}-x^6 \right )^k\frac{y^k}{k!}\\
&=exp\left ( \left ( \frac {1-x^{10}}{1-x}-x^6 \right )y \right )
\end {align*}$ Sử dụng hệ thống CAS như WA chẳng hạn, ta tính được số các xâu thỏa yêu cầu là :
$8!\left[ x^{30}y^8 \right ]f(x,y)g(x,y)=\boldsymbol {542276}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-12-2022 - 18:15

[chanhquocnghiem]

Đề bài:(dùng hàm sinh)
Từ các chữ số $0,1,2,...,9$ có thể lập được bao nhiêu xâu có $8$ chữ số thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện :
a) Chữ số $6$ phải xuất hiện $2$ hoặc $3$ lần.
b) Tổng các chữ số là $30$.

Thử lập công thức tính số xâu có $8$ chữ số, tổng các chữ số là $30$ và có đúng $k$ chữ số $6$ ($0\leqslant k\leqslant 5$).

Nhận xét rằng mỗi xâu như vậy có thể lập được bằng 1 trong 2 cách :

Cách 1 : Từ một xâu có 8-k chữ số, có tổng các chữ số là 30-6k, không chứa chữ số $6$ (và chữ số đầu khác $0$) ta thêm vào $k$ chữ số $6$.

Cách 2 : Từ một xâu có 8-k chữ số, có tổng các chữ số là 30-6k, không chứa chữ số $6$ (và chữ số đầu bằng $0$, hoặc vài chữ số đầu, thậm chí tất cả 8-k chữ số bằng $0$), ta thêm vào $k$ chữ số $6$ (dĩ nhiên phải có ít nhất $1$ chữ số $6$ được thêm vào trước số $0$ đầu tiên)

Gọi $M_k,N_k$ lần lượt là số xâu lập được bằng cách 1 và cách 2. Ta tính $M_k$ và $N_k$.

Tính $M_k$ :

+ Số xâu có 8-k chữ số, có tổng các chữ số là 30-6k, không chứa chữ số $6$ (và chữ số đầu khác $0$) là

   $\left [ x^{30-6k} \right ](x+x^2+...+x^9-x^6)(1+x+x^2+...+x^9-x^6)^{7-k}$

+ Giữa 8-k chữ số và 2 đầu có 9-k khoảng trống. Xếp $k$ chữ số $6$ vào các khoảng đó : Có $C_8^k$ cách.

   $\Rightarrow M_k=C_8^k\left [ x^{30-6k} \right ](x+x^2+...+x^9-x^6)(1+x+x^2+...+x^9-x^6)^{7-k}$

Tính $N_k$ :

+ Số xâu có 8-k chữ số, có tổng các chữ số là 30-6k, không chứa chữ số $6$ (và chữ số đầu bằng $0$, hoặc vài chữ số đầu, thậm chí tất cả 8-k chữ số bằng $0$) là : $\left [ x^{30-6k} \right ](1+x+x^2+...+x^9-x^6)^{7-k}$

+ Giữa 8-k chữ số và 2 đầu có 9-k khoảng trống. Xếp $k$ chữ số $6$ vào các khoảng đó sao cho khoảng ngoài cùng bên trái có ít nhất $1$ chữ số $6$ : Có $C_7^{k-1}$ cách.
   $\Rightarrow N_k=C_7^{k-1}\left [ x^{30-6k} \right ](1+x+x^2+...+x^9-x^6)^{7-k}$

Vậy số xâu có $8$ chữ số, tổng các chữ số là $30$ và có đúng $k$ chữ số $6$ là :

$T_k=M_k+N_k=C_8^k\left [ x^{30-6k} \right ](x+x^2+...+x^9-x^6)(1+x+x^2+...+x^9-x^6)^{7-k}+C_7^{k-1}\left [ x^{30-6k} \right ](1+x+x^2+...+x^9-x^6)^{7-k}$

Thay $k$ từ $0$ đến $5$, số xâu lần lượt là : $T_0=1518610$ ; $T_1=1240309$ ; $T_2=403781$

$T_3=63945$ ; $T_4=4725$ ; $T_5=35$

$\Rightarrow$ Số xâu có $8$ chữ số, tổng các chữ số là $30$ là $\sum_{k=0}^{5}T_k=3231405$.

Số xâu này có thể tính theo cách $\left [ x^{30} \right ](x+x^2+x^3+...+x^9)(1+x^2+x^3+...+x^9)^7=3231405$

Hai kết quả rất khớp. Do đó mình cho rằng kết quả $T_2+T_3=403781+63945=467726$ là đúng.

 

  
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-12-2022 - 20:30

[Nobodyv3]

Cám ơn anh đã kỳ công kiểm tra! Vậy là hàm sinh sai ở đâu đó, nhưng khi thử kiểm tra với vài số nho nhỏ thì thấy vẫn đúng ! Thế mới lạ, để em xem kỹ lại...

[Nobodyv3]

@chanhquocnghiem hôm nay lang thang gặp bài này và xem lại do đâu 2 kết quả sai khác nhau : Em thấy hình như anh loại các xâu bắt đầu là chữ số 0. Nếu đúng vậy, em nghĩ ở đây yêu cầu tính số xâu (không phải tính số tự nhiên) nên em gộp luôn các xâu bắt đầu bằng chữ số 0:
$$C_{8}^{6}[x^{18}](1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^7+x^8+x^9)^6=467516$$
$$C_8^5[x^{12}](1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^7+x^8+x^9)^5 =74760$$
Số các xâu là :
$467516+74760=\boldsymbol {542276}$
Phù hợp với kết quả của em.