Chủ đề này có 1 trả lời

[toanhoc9]

 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên cạnh BC lấy điểm M' sao cho $\widehat{M'AB}=\widehat{MAC}$. Các điểm N' và P' được xác định tương tự ($N'\epsilon AB, P'\epsilon AC$). CMR: Ba đường thẳng AM', CN', BP' đồng quy.

[WannaBeMe]

Hình:

 

Ta có:
$\frac{S_{ABM'}}{S_{ACM}}=\frac{\frac{\sin \widehat{BAM'}\cdot AB\cdot AM'}{2}}{\frac{\sin \widehat{CAM}\cdot AC\cdot AM}{2}}=\frac{AB\cdot AM'}{AC\cdot AM}$

Mặt khác

$\frac{S_{ABM'}}{S_{ACM}}=\frac{BM'}{CM}$ (cùng đường cao hạ từ $A$)

$\Rightarrow \frac{AB\cdot AM'}{AC\cdot AM}=\frac{BM'}{CM} \ (1)$

Lại có $\widehat{BAM'} = \widehat{CAM}$

$\Rightarrow \widehat{BAM'} +  \widehat{MAM'} = \widehat{CAM} + \widehat{MAM'}$

$\Rightarrow \widehat{BAM} =  \widehat{CAM'}$

Ta có

$\frac{S_{ABM}}{S_{ACM'}}=\frac{\frac{\sin \widehat{BAM}\cdot AB\cdot AM}{2}}{\frac{\sin \widehat{CAM'}\cdot AC\cdot AM'}{2}}=\frac{AB\cdot AM}{AC\cdot AM'}$

Mặt khác

$\frac{S_{ABM}}{S_{ACM'}}=\frac{BM}{CM'}$ (cùng đường cao hạ từ $A$)

$\Rightarrow \frac{AB\cdot AM}{AC\cdot AM'}=\frac{BM}{CM'} \ (2)$

Nhân vế theo vế $(1)$ và $(2)$

$\Rightarrow \frac{BM'}{CM}\cdot \frac{BM}{CM'}= \frac{AB\cdot AM'}{AC\cdot AM}\cdot \frac{AB\cdot AM}{AC\cdot AM'}$

$\Rightarrow \frac{BM'}{CM'} = \frac{AB^2}{AC^2}$ ($BM$ = $CM$ vì $M$ là trung điểm $BC$)

Tương tự, $\frac{AN'}{BN'} = \frac{CA^2}{CB^2}$,  $\frac{CP'}{AP'} = \frac{BC^2}{BA^2}$

Ta có:$\frac{BM'}{CM'}\cdot \frac{AN'}{BN'}\cdot \frac{CP'}{AP'}=\frac{AB^2}{AC^2}\cdot \frac{CA^2}{CB^2}\cdot \frac{BC^2}{BA^2}=1$

$\Rightarrow AM'$, $CN'$, $BP'$ đồng quy (định lí $Ceva$ đảo) (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WannaBeMe: 29-01-2023 - 08:03