Chủ đề này có 2 trả lời

[kograysus]

Cho $\Delta{ABC}$ ngoại tiếp $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, điểm $H$ thuộc đường thẳng $AI$ sao cho $MH=MD$ ($H$ nằm trong $\Delta{ABC}$) . CMR $E,H,D$ thẳng hàng

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kograysus: 22-06-2023 - 13:39

[perfectstrong]

Ta sẽ dùng phương pháp chứng minh trùng:

Bài toán

Hạ $BH \perp AI$ tại $H$. Chứng minh rằng $D, H, E$ thẳng hàng và $MH = MD$.

 

Đầu tiên, ta chứng minh $D, H, E$ thẳng hàng. Thật vậy:

\begin{align*} \angle IDH & = \angle IBH \\ & = 90^o - \angle BIH \\ & = 90^o - (\angle BAI + \angle ABI) \\ & = 90^o - \frac{\angle BAC + \angle ABC}{2} \\ & = \frac{1}{2}\angle ACB \\& = \angle ICD = \angle IDE\end{align*}

 

Tiếp theo, ta chứng minh $MH \parallel AC$. Trước hết, ta có cặp góc:
$\angle IHE = 90^o-\angle BHD = 90^o - \angle BID = \angle IBD$
$\angle IEH = \angle ECI = \angle ICB$
Nên $\Delta IHE \sim \Delta IBC (g.g)$.
Vì vậy $ \frac{HE}{BC}=\frac{IE}{IC} = \sin ACI \Rightarrow HE = BC \sin ACI$
$\Rightarrow \frac{HE}{DE} = \frac{BC \sin ACI}{2 DC \sin ICD} = \frac{MC}{DC} \Rightarrow MH \parallel EC$.

 

Từ đây, ta có $ \angle MHD = \angle CED = \angle MDH \Rightarrow MD = MH$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 23-06-2023 - 13:30

[William Nguyen]

Ta sẽ dùng phương pháp chứng minh trùng:

Bài toán

Hạ $BH \perp AI$ tại $H$. Chứng minh rằng $D, H, E$ thẳng hàng và $MH = MD$.

2023-06-22_11h44_38.png

 

Đầu tiên, ta chứng minh $D, H, E$ thẳng hàng. Thật vậy:

\begin{align*} \angle IDH & = \angle IBH \\ & = 90^o - \angle BIH \\ & = 90^o - (\angle BAI + \angle ABI) \\ & = 90^o - \frac{\angle BAC + \angle ABC}{2} \\ & = \frac{1}{2}\angle ACB \\& = \angle ICD = \angle IDE\end{align*}

 

Tiếp theo, ta chứng minh $MH \parallel AC$. Trước hết, ta có cặp góc:
$\angle IHE = 90^o-\angle BHD = 90^o - \angle BID = \angle IBD$
$\angle IEH = \angle ECI = \angle ICB$
Nên $\Delta IHE \sim \Delta IBC (g.g)$.
Vì vậy $ \frac{HE}{BC}=\frac{IB}{IC} \Rightarrow HE = BC \frac{IE}{IC} = BC \sin ACI$
$\Rightarrow \frac{HE}{DE} = \frac{BC \sin ACI}{2 DC \sin ICD} = \frac{MC}{DC} \Rightarrow MH \parallel EC$.

 

Từ đây, ta có $ \angle MHD = \angle CED = \angle MDH \Rightarrow MD = MH$.

Sau khi có $D, H, E$ thẳng hàng, ta có thể chứng minh $MH = MD$ gọn hơn như sau:

Gọi $N$ là trung điểm $BI \Rightarrow MN // IC \Rightarrow MN \perp DE$ hay $MN \perp DH$

Lại có $NH = ND$ nên $MN$ là đường trung trực đoạn $HD$ và do đó $MH = MD$