Cho $\Delta{ABC}$ ngoại tiếp $(I)$, $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ cắt $EF$ tại $T$, gọi $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AT$. Chứng minh $NM$ tiếp xúc với $(I)$
Chứng minh $NM$ tiếp xúc với $(I)$
#1
Đã gửi 29-06-2023 - 22:51
#2
Đã gửi 02-07-2023 - 07:12
Kẻ đường kính $DD'$ của $(I)$. Cho $AD'$ cắt lại $(I)$ tại $H$.
Theo kết quả quen thuộc, ta có $IM \parallel AD'\Rightarrow IM \parallel D'H$
$\Rightarrow IM \perp DH$.
Mà $MD$ là tiếp tuyến của $(I)$ nên $MH$ cũng là tiếp tuyến của $(I)$
Lấy $J$ là trung điểm của $EF$.
Ta có $AD'.AH = AE^2= AJ.AI\Rightarrow$ Tứ giác $IJD'H$ nội tiếp
$\Rightarrow \angle AHJ = \angle AID' = \angle ATJ$ (có các cạnh tương ứng vuông góc)
$\Rightarrow$ Tứ giác $ATHJ$ nội tiếp
$\Rightarrow \angle AHT = \angle AJT = 90^\circ\Rightarrow D,H,T$ thẳng hàng.
Gọi $\left\{N'\right\} = MH \cap AT$. Ta có $\angle N'HD' = \angle HDD' = 90^\circ - \angle ATH = \angle HAT$
$\Rightarrow \Delta N'HA$ cân tại $N'$.
Kết hợp với điều kiện tam giác $AHT$ vuông tại $H$, ta có $N'$ là trung điểm AT$
$\Rightarrow N'\equiv N\Rightarrow MN$ tiếp xúc với $(I)$ tại $H$.
- Leonguyen, William Nguyen, coaydadiroi212 và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh