Chủ đề này có 2 trả lời

[William Nguyen]

Cho dãy số $(u_n)$:

$\begin{cases} u_1=\sqrt{2} & \\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{u_n^2+2}{3}}, & \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$

 

a, Xác định công thức số hạng tổng quát dãy $(u_n)$.

b, Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{n} u_i < n+1, \forall n \in \mathbb{N}^*$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 03-07-2023 - 20:20

[Kino]

a, Từ đề bài 
\begin{cases} u_1=\sqrt{2} & \\ u^2_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{3}, & \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}

Đặt $v_n = u^2_n$

Ta có 
$\begin{cases} v_1=2 & \\ v_{n+1}=\frac{v_n+2}{3}, & \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$

$\Rightarrow v_{n+1} -1 = \frac{1}{3}(v_n-1)$

Đặt $q_n = v_n - 1$

$\Rightarrow \begin{cases} q_1=1 & \\ q_{n+1}=\frac{1}{3}q_n, & \forall n \in \mathbb{N}^* \end{cases}$

$\Rightarrow$ Cấp số nhân với $q_1 = 1$ và công bội là $\frac{1}{3}$

Công thức tổng quát cấp số nhân là $q_n = \frac{1}{3^{n-1}}$

$\Rightarrow v_n = \frac{1}{3^{n-1}}+1$

$\Rightarrow u_n = \sqrt{\frac{1}{3^{n-1}}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kino: 19-07-2023 - 11:31

[William Nguyen]

b, Từ công thức số hạng tổng quát, dùng bđt Bunyakowsky có:

$\left( \sum_{i=1}^{n} u_i \right)^2 \leq n.\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{n-1}}+n\right)$

$< n.\left(\frac{1}{1-\frac{1}{3}}+n\right) = n^2+\frac{3n}{2} < (n+1)^2$

Ta có đpcm.