4 replies to this topic

[William Nguyen]

Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Dựng các tam giác đều $BIM$ và $CIN$ sao cho $M, N$ nằm về cùng một phía $BC$. Điểm $D$ đối xứng $I$ qua đường $BC$. Chứng minh $\Delta DMN$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$.

Attached Images

• 

[hovutenha]

Nếu muốn dùng phương pháp mạnh thì dùng pocelet porism.
Đầu tiên là chứng minh 6 điểm $A,B,C,M,N,P$ đồng viên (dễ)

Rồi chứng minh $DM$, $DN$ tiếp xúc $(I)$ bằng cách tính góc $IDM$ = $IDN$= $30$

Áp dụng bổ đề pocelet porism là xong

Edited by hovutenha, 07-07-2023 - 00:24.

[HaiDangPham]

Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Dựng các tam giác đều $BIM$ và $CIN$ sao cho $M, N$ nằm về cùng một phía $BC$. Điểm $D$ đối xứng $I$ qua đường $BC$. Chứng minh $\Delta DMN$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$.

 

$B, I, N$ thẳng hàng và $C, I, M$ thẳng hàng. 

 

$M, A, N$ cùng thuộc cung $60^{\circ}$ dựng trên đoạn $BC$. 

 

Tính được $\angle AMB=\angle DBM$, hơn nữa $MA=MB=BD$ suy ra $\triangle MAB=\triangle BMD$. Do đó $MD=BA$. 

Chứng minh tương tự $ND=AC$. 

Thêm vào đó $MN=BC$ do $\triangle IMN=\triangle IBC$. 

Như vậy $\triangle DMN=\triangle ABC$ (c.c.c). 

 

Từ đây ta có $\angle MDN=\angle BAC=60^{\circ}$, dẫn tới $B, D, C$ cùng thuộc cung $60^{\circ}$ dựng trên đoạn $MN$.

Mà $CD=CN$, $BD=BM$ suy ra $IM, IN$ lần lượt là tia phân giác của hai góc $DMN, DNM$. 

Edited by HaiDangPham, 07-07-2023 - 00:29.

[nmlinh16]

$B, I, N$ thẳng hàng và $C, I, M$ thẳng hàng.

$M, A, N$ cùng thuộc cung $60^{\circ}$ dựng trên đoạn $BC$.

Tính được $\angle AMB=\angle DBM$, hơn nữa $MA=MB=BD$ suy ra $\triangle MAB=\triangle BMD$. Do đó $MD=BA$.
Chứng minh tương tự $ND=AC$.
Thêm vào đó $MN=BC$ do $\triangle IMN=\triangle IBC$.
Như vậy $\triangle DMN=\triangle ABC$ (c.c.c).

Từ đây ta có $\angle MDN=\angle BAC=60^{\circ}$, dẫn tới $B, D, C$ cùng thuộc cung $60^{\circ}$ dựng trên đoạn $MN$.
Mà $CD=CN$, $BD=BM$ suy ra $IM, IN$ lần lượt là tia phân giác của hai góc $DMN, DNM$.

Từ chỗ $IM$ và $IN$ là hai đường phân giác mới suy ra được $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle DMN$, em nghĩ cần nói thêm là “vì $\triangle DMN = \triangle ABC$ nên chúng có cùng bán kính đường tròn nội tiếp” nữa.

Edited by nmlinh16, 07-07-2023 - 05:06.

[nmlinh16]

Best Answer

Gọi $d$ là đường phân giác của $\widehat{MIB}$ cũng như của $\widehat{NIC}$ (bằng cộng góc, ta dễ thấy $M, I, C$ thằng hàng và $N, I, B$ thằng hàng). Phép đối xứng qua đường thẳng $d$ biến $B$ thành $M$, biến $C$ thành $N$ và biến $(I)$ thành chính nó. Vì $(I)$ nội tiếp $\triangle ABC$ nên để chứng minh nó nội tiếp $\triangle DMN$ thì ta chỉ cần chứng minh rằng $D$ và $A$ đối xứng với nhau qua $d$.
Thật vậy, một mặt, nếu ký hiệu bởi $r$ bán kính của $(I)$ thì từ chỗ $\widehat{ABI} = 30^\circ$ ta tính được $IA = 2r = ID$.
Mặt khác, $$\widehat{AIM} = \widehat{ACI} + \widehat{CAI} = \frac{\widehat{ACB} + \widehat{BAC}}{2} = \frac{180^\circ - \widehat{ABC}}{2} = 90^\circ - \widehat{IBC} = \widehat{BID}$$ nên $d$ cũng là đường phân giác của $\widehat{AID}$. Từ đó suy ra rằng $A$ và $D$ đối xứng với nhau qua $d$, chính là điều ta muốn.

Edited by nmlinh16, 07-07-2023 - 15:14.