Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyetnguyet829]

Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông tại $A$ và đường cao $AH$ $(H \in BC)$ và $AH^2 = 4AM.AN$ với $M, N$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $H$ xuống $AB, AC.$

Tính $\widehat{ACB}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyetnguyet829: 11-07-2023 - 15:00

[huytran08]

Dễ chứng minh $AMHN$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AN=MH \Rightarrow AH^{2}=4AM.MH $

  Mà $AH^2=AM^2+MH^2$ nên $4AM.MH=AM^2+MH^2 \Rightarrow AM=(2\pm \sqrt{3})MH\Rightarrow \frac{MH}{AM}=(2\pm \sqrt{3}) $

Măt khác $tanC=tan\widehat{BAH}=\frac{MH}{AM}$ nên $tanC=(2\pm \sqrt{3})$ $\Rightarrow \widehat{C}=15^{o}$ hoặc $\widehat{C}=75^{o}$

[HaiDangPham]

Bài này còn cách khác. Từ $AH^2=HB.HC$ ta suy ra $HB.HC=4AM.AN$.

Do đó $\frac{HB}{AN}.\frac{HC}{AN}=4$, hay $\frac{BC}{AC}.\frac{BC}{AB}=4$.

Dẫn tới $BC=4AH$ vì $AB.AC=AH.BC$.  

 

Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có $BC=2AM$, suy ra $AM=2AH$. Tam giác $AHM$ vuông tại $H$ và có $AM=2AH$ nên $AHM$ là nửa tam giác đều và có  $\angle AMH=30^{\circ}$. 

 

Xét trường hợp $AB<AC$ khi đó $H$ thuộc đoạn $BM$. Vì vậy $AMH$ là góc ngoài tại đỉnh $M$ của tam giác cân $AMC$.

Do đó $\angle ACB=15^{\circ}$.  

 

Trường hợp $AB>AC$, tương tự như trên ta có $\angle ABC=15^{\circ}$, do đó $\angle ACB=75^{\circ}$.  

 

Vậy số đo cần tìm của góc $ACB$ là $15^{\circ}$ hoặc $75^{\circ}$. 

 

Bài còn có thể phát biểu khác đi như sau: 

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\angle ACB=15^{\circ}$. Chứng minh rằng $BC^2=4AB.AC$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 12-07-2023 - 22:25