Chủ đề này có 2 trả lời

[Nobodyv3]

Có bao nhiêu cách viết số $2730$ thành tích 4 số nguyên dương mà thứ tự của chúng không quan trọng.

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu cách viết số $2730$ thành tích 4 số nguyên dương mà thứ tự của chúng không quan trọng.

$2730=2.3.5.7.13$

$\textbf{TH1}$ : (Trong $4$ số nguyên dương, không có số $1$)

Chọn $2$ trong $5$ thừa số nguyên tố nhân với nhau $\rightarrow \textbf{TH1}$ có $C_5^2=10$ cách

$\textbf{TH2}$ : (Trong $4$ số nguyên dương, có đúng $1$ số $1$)

Chọn $3$ trong $5$ thừa số nguyên tố nhân với nhau : $C_5^3=10$ cách

Chọn $2$ TSNT nhân với nhau, $2$ TSNT khác nhân với nhau : $\frac{C_5^2C_3^2}{2!}=15$ cách

$\rightarrow \textbf{TH2}$ có $10+15=25$ cách.

$\textbf{TH3}$ : (Trong $4$ số nguyên dương, có đúng $2$ số $1$)

Chọn $4$ trong $5$ thừa số nguyên tố nhân với nhau : $C_5^4=5$ cách

Chọn $3$ TSNT nhân với nhau, $2$ TSNT còn lại nhân với nhau : $C_5^3=10$ cách

$\rightarrow \textbf{TH3}$ có $5+10=15$ cách.

$\textbf{TH4}$ : (Trong $4$ số nguyên dương, có đúng $3$ số $1$) TH này có $1$ cách.

Vậy tổng số cách viết thỏa mãn là $10+25+15+1=51$ cách.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-08-2023 - 21:20

[Nobodyv3]

@chanhquocnghiem cám ơn anh.
Ngoài ra, có nhiều cách khác : dùng bổ đề  Burnside, dùng số Bell...và em xin trình bày một cách nữa là dùng số Sterling numbers loại 2: $S(n,k)$.
Nếu nhóm 5 thừa số nguyên tố : $2,3,5,7,13$ thành nhiều nhất là 4 tập, thì được như sau :
$$\begin{align*} \sum_{k=1}^{4}S(5,k)&=\sum_{k=1}^{4}\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}\binom{k}{i}i^5\\
&=1+15+25+10\\
&=\color{blue}{51}\end{align*}$$