Bài này theo mình nghĩ, là yêu cầu chứng minh tồn tại hai ô chung cạnh có hiệu hai số lớn hơn hoặc bằng $n$.
Xét $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho các số $1,2,...,k$ hoặc xuất hiện trên mọi hàng, hoặc xuất hiện trên mọi cột.
Không mất tính tổng quát, coi $k$ số này xuất hiện trên mọi hàng.
NX. Mọi hàng đều chứa ít nhất một ô không chứa một trong các số $1,2,...,k$.
Chứng minh. Giả sử tồn tại hàng $i$ trái với tính chất trên. Khi đó các số $1,2,...,k$ cũng xuất hiện trên mọi cột, mà các số $1,2,..,k-1$ không xuất hiện trên mọi cột nên $k$ thuộc hàng $i$. Chứng tỏ các số $1,2,...,k-1$ vẫn xuất hiện trên mọi hàng, mâu thuẫn.
Như vậy, với hàng $i$ bất kì, ta tìm được hai ô chứa hai số $a_i,b_i$ sao cho $a_i\in\left\{1,2,...,k\right\}$ và $b_i > k$. Chú ý $b_1,b_2,...,b_n$ là các số lớn hơn $k$ nên tồn tại một số $b_j$ không nhỏ hơn $k + n$.
Thế thì $b_j - a_j \geq n$, và $b_j,a_j$ là hai số ở hai ô chung cạnh. (đpcm)