Chủ đề này có 1 trả lời

[Princess3107]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.Các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AH,EF$. Chứng minh rằng $\widehat{BNC} + \widehat{BMC}=180^o$

[HaiDangPham]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$.Các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AH,EF$. Chứng minh rằng $\widehat{BNC} + \widehat{BMC}=180^o$

 

 

 

Khá thích bài này. Một tính chất thú vị. Chứng minh không khó cho lắm. 

 

LỜI GIẢI. 

 

Gọi $P$ là trung điểm $BC$ và $Q$ là điểm đối xứng của $M$ qua $P$. 

 

* Tam giác $AEH$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm cạnh huyền $AH$ nên $MA=ME$, từ đó suy ra $\angle AEM=\angle MAE$. Tương tự trong tam giác $BEC$ ta có $\angle PEC=\angle PCE$.

 

Vì $AH \perp BC$ nên $\angle MAE+\angle PCE=90^{\circ}$. 

 

Suy ra $\angle AEM+\angle PEC=90^{\circ}$, dẫn tới $\angle PEM=90^{\circ}.$

 

Vậy $PE \perp EM$. Tương tự ta có $PF \perp MF$.

 

* $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF nên $ME=MF$. Hai tam giác vuông $PEM$ và $PFM$ có chung cạnh huyền $PM$ và có $ME=MF$ nên bằng nhau. Suy ra $PE=PF$. Do đó $PM$ là đường trung trực của $EF$. Chứng tỏ $PM$ vuông góc với $EF$ tại $N$. 

 

*  Vì P đồng thời  là trung điểm $BC$ và $QM$ nên tứ giác $BMCQ$ là hình bình hành. 

 

* Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông $PEM$ ta có $PE^2=PM.PN$. Mà $PC=PE$ nên $PC^2=PM.PN$. Dẫn tới tam giác $PNC$ và tam giác $PCM$ đồng dạng (c.g.c). Suy ra $\angle PNC=\angle PCM$.

 

Mặt khác $\angle PCM=\angle PBQ$ (vì $CM \parallel BQ$) nên $\angle PNC=\angle PBQ$. Chú ý rằng $M, N, P$ thẳng hàng và $M, P, Q$ thẳng hàng, suy ra $N, P, Q$ thẳng hàng. Do đó $\angle CNQ=\angle CBQ$. 

 

Vì vậy tứ giác $BNCQ$ là tứ giác nội tiếp. Suy ra $\angle BNC+\angle BQC=180^{\circ}$. Mà $\angle BQC=\angle BMC$ (tứ giác $BMCQ$ là hình bình hành), nên ta có điều phải chứng minh $\angle BMC+\angle BNC=180^{\circ}$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 08-11-2023 - 13:13