Đây là lời giải của mình.
Trước hết ta phát biểu $2$ bổ đề sau:
Bổ đề $1$: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp $(O)$, $D$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Điểm $E$ trên $(O)$. Lấy $1$ điểm $S$ trên $AE$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc $SB$ cắt $DE$ tại $P$. Đường thẳng qua $C$ vuông góc $SC$ cắt $DE$ tại $Q$. CMR: $P$ $Q$ đối xứng nhau qua $D$.
Chứng minh:
Trước hết ta sẽ cho $S$ trùng $A$,$E$,$T$ với $T$ là giao điểm của $AE$ với $BC$.
Với $3$ vị trí trên ta dễ dàng chứng minh được các điểm $P$ $Q$ tương ứng đối xứng nhau qua $D$
Vậy ta đi đến lời giải sau:
Đường thẳng qua $B$ vuông góc $BC$, $BE$ cắt $DE$ tại $N$ $M$.
Đường thẳng qua $C$ vuông góc $BC$, $CE$ cắt $DE$ tại $F$ $G$.
gọi $Q$' đối xứng $P$ qua $D$
ta có:
$(DQ',FG)=(DP,NM)=B(DP,NM)=B(AS,CE) = C(AS,CE)= C(DQ,FG)$
$\Rightarrow Q \equiv Q'$ (dpcm)
Bổ đề $2$: (Bổ đề đẳng giác) Cho tam giác $ABC$, Hai điểm $P$, $Q$ sao cho $AP$, $AQ$ đẳng giác trong góc $A$, $BP$,$BQ$ lần lượt cắt $CQ$,$CP$ tại $S$ và $R$, khi đó $AS$, $AR$ đẳng giác trong góc $A$.
Bổ đề này xuất hiện trong nhiều tài liệu và cách chứng minh cũng không khó nên mình sẽ không ghi chứng minh ở đây.
Trở lại bài toán.
Trước hết để ý rằng $AP$, $AQ$ đẳng giác trong góc $A$.
Xét $f$ là phép nghịch đảo cực $A$ phương tích $\overline{AB}.\overline{AC}$ hợp với phép đối xứng trục phân giác góc $A$
gọi $X$ là ảnh của $S$ qua phép $f$
Nhờ vào Bổ đề $2$ bài toán quy về chứng minh $BP$, $CQ$, $AX$ đồng quy.
Gọi $M$, $N$ lần lượt là ảnh của $Q$, $P$ qua phép $f$
$AD$ cắt lại $ABC$ tại $E$ và $K$ là điểm đối xứng $A$ qua tâm $ABC$.
Suy ra $M,N$ đối xứng nhau qua $D$
Nhờ vào tính chất của phép nghịch đảo ta có: $4$ điểm $M,E,K,N$ thẳng hàng và $X=(MBK)\cap (NCK)$.
Áp dụng Bổ đề $1$ ta có: $XB,XC,XK$ lần lượt vuông góc với $MB$, $NC$, $MN$
Đến đây ta sẽ cố gắng sử dụng Đinh lý Ceva-sin để chứng minh $3$ đường đồng quy
Vì những tính toán chi tiết rất cơ bản nhưng khá dài dòng nên mình sẽ viết các ý chính bên dưới
$\frac{sin(BAX)}{sin(CAX)}=\frac{sin(ABX)}{sin(ACX)}.\frac{BX}{CX}$
$\frac{sin(ACQ).sin(CBP)}{sin(BCQ).sin(ABP)}=\frac{KN}{KM}$
Để ý rằng:
$sin(KCN)=sin(ACX);sin(KBM)=sin(ABX)$
$sin(BKX)=sin(CKX)$
và
$\frac{KN.BX}{KM.CX}=\frac{sin(KCN).sin(BKX)}{sin(CKX).sin(KBM)}$
$\Rightarrow \frac{sin(BAX).sin(ACQ).sin(CBP)}{sin(CAX).sin(BCQ).sin(ABP)}=1$ (dpcm)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-11-2023 - 23:59
LaTeX
