Chủ đề này có 3 trả lời

[Math04]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, gọi $N$ là tâm đường tròn Euler. Gọi $X,Y$ lần lượt đối xứng với $N$ qua $AB, AC$. $S$ là tâm $(AXY)$. Chứng minh $SN \perp BC$.

[hovutenha]

Ta có: $\angle SNB=\angle SAX-\angle XAB=\frac{1}{2}\angle XAY-\angle NAB=\angle BAC-\angle NAB=\angle NAC$

Suy ra $AN$, $AS$ đẳng giác trong góc $A$ nên $AS$ đi qua tâm $Z$ của $(BOC)$ với $O$ là tâm $(ABC)$

Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$

 

Ta có bổ đề cơ bản sau, bạn có thể tham khảo chứng minh ở đây

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $Z$ là tâm $BOC$, lấy điểm $K$, $L$ đối xứng $Z$ qua $AC$, $AB$ thì $K,L$ đối xứng qua tâm euler của tam giác $ABC$.

Như vậy nếu có bổ đề thì bằng cộng góc đơn giản (như khi chứng minh $AN$, $AS$ đẳng giác) thì ta có $\angle ANK =90^{\circ}$

Vậy khi lấy đối xứng qua $AC$ thì ta có $\angle AYZ=90^{\circ}$ hay $Z$ thuộc $(AXY)$

Ta có:

$BS^{2}=\frac{BA^{2}}{2}+\frac{BZ^2}{2}-\frac{AZ^2}{4}$

$CS^{2}=\frac{CA^{2}}{2}+\frac{CZ^2}{2}-\frac{AZ^2}{4}$

$BN^{2}=\frac{BH^2}{2}+\frac{BO^2}{2}-\frac{OH^2}{4}$

$CN^{2}=\frac{CH^2}{2}+\frac{CO^2}{2}-\frac{OH^2}{4}$

Suy ra:

$(BS^2-BN^2)-(CS^2-CN^2)=(BA^2-BH^2)-(CA^2-CH^2)=0$

Áp dụng định lí 4 điểm ta có luôn $SN$ vuông góc $BC$ (dpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hovutenha: 26-11-2023 - 23:51

[Math04]

 

screenshot_1700968049.png

Ta có: $\angle SNB=\angle SAX-\angle XAB=\frac{1}{2}\angle XAY-\angle NAB=\angle BAC-\angle NAB=\angle NAC$

Suy ra $AN$, $AS$ đẳng giác trong góc $A$ nên $AS$ đi qua tâm $Z$ của $(BOC)$ với $O$ là tâm $(ABC)$

Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$

Ta có:

$BS^{2}=\frac{BA^{2}}{2}+\frac{BZ^2}{2}-\frac{AZ^2}{4}$

$CS^{2}=\frac{CA^{2}}{2}+\frac{CZ^2}{2}-\frac{AZ^2}{4}$

$BN^{2}=\frac{BH^2}{2}+\frac{BO^2}{2}-\frac{OH^2}{4}$

$CN^{2}=\frac{CH^2}{2}+\frac{CO^2}{2}-\frac{OH^2}{4}$

Suy ra:

$(BS^2-BN^2)-(CS^2-CN^2)=(BA^2-BH^2)-(CA^2-CH^2)=0$

Áp dụng định lí 4 điểm ta có luôn $SN$ vuông góc $BC$ (dpcm)

 

 Bạn ơi cho mình hỏi làm sao chứng minh $Z$ thuộc $(AXY)$ nhỉ

[hovutenha]

 Bạn ơi cho mình hỏi làm sao chứng minh $Z$ thuộc $(AXY)$ nhỉ

Đã sửa.
lúc đó mình hơi vội nên quên mất chứng minh $Z$ thuộc $(AXY)$