Chủ đề này có 1 trả lời

[minhquang47]

Giả sử $f(t)=a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot+a_{1}t+a_{0}\in\mathbb{R}[t]$ là một đa thức với hệ số thực. Định nghĩa đa thức đạo hàm $D f$ của $f$ bởi:

                           $D f=n a_{n}t^{n-1}+(n-1)a_{n-1}t^{n-2}+\ldots+a_{1}.$

a) Chứng minh rằng D là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ $\mathbb{R}[t]$.

b) Với mọi số nguyên dương n, chứng minh rằng tập hợp $R_{n}[t]$ gồm tất cả các đa thức của $\mathbb{R}[t]$ có bậc $\leq$ n là một không gian con của $\mathbb{R}[t]$.

c) Hãy xác định ảnh và nhân của toán tử đạo hàm D trong không gian vectơ $\mathbb{R}_{3}[t].$

[Konstante]

Do $D(r . f) = r . D(f)$ với mọi $r \in \mathbb{R}$, $f \in \mathbb{R}[t]$ nên $D$ là ánh xạ tuyến tính trong không gian vector trên $\mathbb{R} [t]$ trên $\mathbb{R}$ .

 

Với mọi $f,g \in \mathbb{R}_n [t ]$ thì $f + g \in  \mathbb{R}_n [t]$ và $r . f \in  \mathbb{R}_n [t]$ nên $ \mathbb{R}_n [t]$ là không gian con.

 

$\mathtt{Img}(D) =  \mathbb{R}_2[t]$, $\mathtt{Ker}(D) =  \mathbb{R}_0[t]= \mathbb{R}$.