Chủ đề này có 4 trả lời

[hxthanh]

Mình tìm được trên mạng con số thú vị này, muốn chia sẻ đến các bạn:
$$\dfrac 1{998001}=0,000\,001\,002\,…996\,997\,999\,000\,001\,… $$
$$\quad =0,(000\,001\,002\,…996\,997\,999)$$
Đây là một con số thập phân bao gồm đầy đủ các số có 3 chữ số ngoại trừ $998$
Thật sự khâm phục người đã tìm ra con số này! Tuy nhiên, nếu để ý kỹ bạn sẽ tìm thấy quy luật của nó. Bạn có thể mở rộng ra một con số tương tự chứ?

[nmlinh16]

Bắt đầu từ đẳng thức $$\frac{1}{1-x} = \sum_{i=0}^\infty x^i,$$ ta đạo hàm hai vế, rồi nhân hai vế với $x^2$ để thu được $$\frac{x^2}{(1-x)^2} = \sum_{i=0}^\infty ix^{i+1}.$$ Thay $x = \frac{1}{1000}$, ta được $$\frac{1}{998001} = \sum_{i=0}^\infty ix^{i+1} = \frac{0}{1000} + \frac{1}{1000^2} + \frac{2}{1000^3} + \cdots + \frac{997}{1000^{998}} + \frac{998}{1000^{999}} + \frac{999}{1000^{1000}} + \frac{1000}{1000^{1001}} + \sum_{i=1001}^{\infty} \frac{i}{1000^{i+1}}.$$ Bây giờ, nhân xét rằng $$\begin{align*} \frac{998}{1000^{999}} + \frac{999}{1000^{1000}} + \frac{1000}{1000^{1001}} & = \frac{998}{1000^{999}} + \frac{999}{1000^{1000}} + \frac{1}{1000^{1000}} \\ & =  \frac{998}{1000^{999}} + \frac{1000}{1000^{1000}} \\ & = \frac{998}{1000^{999}} + \frac{1}{1000^{999}} \\ & = \frac{999}{1000^{999}}. \end{align*}$$ Vậy ta có $$\frac{1}{998001} =  \frac{0}{1000} + \frac{1}{1000^2} + \frac{2}{1000^3} + \cdots + \frac{997}{1000^{998}} + \frac{999}{1000^{999}} + \sum_{i=1001}^{\infty} \frac{i}{1000^{i+1}}.$$ Nhận xét thêm rằng với $n \in \mathbb{N}^\ast$ thì $$\frac{x^{n+1} - 1}{x-1} = \sum_{i=0}^n x^i.$$ Đạo hàm hai vế rồi nhân với $x^2$, ta được $$\frac{x^2 (n x^{n+1} - (n+1)x^n + 1)}{(x-1)^2} = \sum_{i=0}^n ix^{i+1}.$$ Từ đó ta có $$\sum_{i=n+1}^\infty ix^{i+1} = \sum_{i=0}^\infty ix^{i+1} - \sum_{i=0}^n ix^{i+1} = \frac{((n+1)x^n - nx^{n+1})x^2}{(x-1)^2} = \frac{((n+1) - nx)x^{n+2}}{(x-1)^2}.$$ Thay $x = \frac{1}{1000}$ và $n = 1000$, ta thu được $$\sum_{i=1001}^{\infty} \frac{i}{1000^{i+1}} = \frac{1000 \cdot 1000^2}{999^2 \cdot 1000^{1002}} < \frac{1}{1000^{1000}}.$$ Vậy $$ \begin{align*} & \frac{0}{1000} + \frac{1}{1000^2} + \frac{2}{1000^3} + \cdots + \frac{997}{1000^{998}} + \frac{999}{1000^{999}} \\ <\ & \frac{1}{998001} \\ <\ & \frac{0}{1000} + \frac{1}{1000^2} + \frac{2}{1000^3} + \cdots + \frac{997}{1000^{998}} + \frac{999}{1000^{999}} + \frac{1}{1000^{1000}}, \end{align*}$$ điều này giải thích vì sao $$\frac{1}{998001}  = 0.000001002\ldots 997999 \ldots $$ (chú ý là nó không phải số thập phân vô hạn tuần hoàn $0.(000001002\ldots 997999)$.

Bằng cách tính các tổng tương tự như vậy (thay $x = 1/10^k$, với $k \in \mathbb{N}^\ast$), ta có thể tìm được các số tương tư $998001$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 16-12-2023 - 01:32

[hxthanh]

Bất đẳng thức của @nmlinh16 không nói lên điều gì cả!
Con số $\dfrac {1}{1000^{1000}} $ vẫn là quá lớn so với con số bắt đầu chu kỳ (000 001 đâu phải là 1?)
Con số này chính xác là
$$\dfrac{1}{998001}=0,(000\,001\,002…996\,997\,999)$$
Xem ở đây này
$\sum_{n=0}^{\infty}(10)^{-2997 n} \left(\sum_{k=0}^{998} \dfrac{k}{(1000)^{k+1}}+(10)^{-2997}\right)$
https://www.wolframa...)),{n,0,infty}]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 16-12-2023 - 08:28

[hxthanh]

Thật vậy:
Từ đẳng thức $\sum_{k=0}^n x^k=\dfrac{x^{n+1}-1}{x-1}$
Đạo hàm hai vế rồi nhân với $x^2$, ta được
$\sum_{k=0}^n kx^{k+1}=\dfrac{x^2(nx^{n+1}-(n+1)x^n+1)}{(x-1)^2}$
Thay $x$ bởi $\dfrac{1}{x} $ thì ta có:
$$\sum_{k=0}^n \dfrac{k}{x^{k+1}}=\dfrac{x^{n+1}-(n+1)x+n}{x^{n+1} (x-1)^2 } $$
Từ đây suy ra:
\begin{align*} 0,(000&\,001…996\,997\,999)\\ &= \sum_{m=0}^\infty \dfrac{1}{(1000)^{999m}}\left(\sum_{k=0}^{998}\dfrac{k}{(1000)^{k+1}}+\dfrac{1}{(1000)^{999}}\right)\\ &=\sum_{m=0}^\infty\dfrac{1}{(1000)^{999m}} \left(\dfrac{(1000)^{999}-999\times 1000 +998}{(1000)^{999}(999)^2}+\dfrac{1}{(1000)^{999}}\right)\\ &=\sum_{m=0}^\infty\dfrac{1}{(1000)^{999m}} \left(\dfrac{1}{(999)^2}-\dfrac{1}{(999)^2(1000)^{999}}\right)\\ &=\dfrac{1}{(999)^2}\sum_{m=0}^\infty\left(\dfrac{1}{(1000)^{999m}}-\dfrac{1}{(1000)^{999(m+1)}}\right)\\ &=\dfrac{1}{(999)^2}=\dfrac{1}{998001} \end{align*}
(đpcm)
Ngoài ra các phân số $\dfrac{1}{9^2};\;\dfrac{1}{(99)^2};…v.v…$ đều có tính chất tương tự!

[nmlinh16]

@hxthanh tính đúng rồi.

Kết luận này của em

 

(chú ý là nó không phải số thập phân vô hạn tuần hoàn $0.(000001002\ldots 997999)$.

Bằng cách tính các tổng tương tự như vậy (thay $x = 1/10^k$, với $k \in \mathbb{N}^\ast$), ta có thể tìm được các số tương tư $998001$.

là sai.