Cho $a,b,c\geq \frac{2}{3}$ thoả $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq ab+bc+ca.$
Cho $a,b,c\geq \frac{2}{3}$ thoả $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq ab+bc+ca.$
Started By esdadwsd0, 22-12-2023 - 23:18
#2
Posted 21-01-2024 - 09:37
truongphat266
-
- Thành viên
-
- 166 posts
Trung sĩ
Cho $a,b,c\geq \frac{2}{3}$ thoả $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\geq ab+bc+ca.$
Đổi biến: $a=\frac{x+2}{3}, b=\frac{y+2}{3}, c=\frac{z+2}{3} \rightarrow x+y+z=3, x,y,z \ge 0;$
Chỉ cần chứng minh: $ \sum_{cyc}^{x,y,z}x^2y^2+3\sum_{cyc}^{x,y,z}xy \geq 12xyz;$
Điều này lại hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM-GM.
Còn về việc dấu bằng thì 2 bộ và các hoán vị của chúng thôi: $\left(1,1,1\right),\left(\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right)$
Edited by truongphat266, 21-01-2024 - 09:44.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
