1 reply to this topic

[minhquang47]

Cho $f, g:[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$ liên tục trên [a,b]. Chứng minh rằng

$\int_{a}^{b}|f(x)g(x)|\,d x\leq\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{4}\,d x\right)_{\,\,.}^{1/4}\left(\int_{a}^{b}|g(x)|^{4/3}\,d x\right)^{3/4}$

[Konstante]

Đây là trường hợp riêng của bất đẳng thức Hölder cho tích phân, bất đẳng thức này đúng cho các hàm khả tích (trong đó có các hàm liên tục). Ta sử dụng lại các ký hiệu của một câu trả lời trước, và đi chứng minh cho trường hợp tổng quát: với $f,g\in \mathscr{L}^{1}_{\mathbb{R}} \left( I, \mathscr{B}(I), l)\right)$ và $p,q > 0$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$, thì $$\int\limits_{I} \left| fg \right| \, dl \leq \left(\int\limits_{I} \left| f \right|^{p} \, dl\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int\limits_{I} \left| g \right|^{q} \, dl\right)^{\frac{1}{q}}$$(bất đẳng thức ở câu hỏi là trường hợp riêng khi lấy $p = 4$ và $q = \frac{4}{3}$).

 

Nếu vế phải bằng $0$, tức là hoặc $\left(\int\limits_{I} \left| f \right|^{p} \, dl\right)^{\frac{1}{p}} = 0$ hoặc $\left(\int\limits_{I} \left| g \right|^{q} \, dl\right)^{\frac{1}{q}} = 0$, kéo theo $f = 0$ hầu như khắp nơi hoặc $g = 0$ hầu như khắp nơi, dẫn đến vế trái cũng bằng $0$, và bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

 

Nếu vế phải khác $0$, áp dụng bất đẳng thức Young $$a^{\frac{1}{p}} b^{\frac{1}{q}} \leq \frac{1}{p}a + \frac{1}{q} b$$cho $a = \frac{\left|f\right|^p}{\int\limits_{I} \left| f \right|^{p} \, dl}$ và $b = \frac{\left|g\right|^q}{\int\limits_{I} \left| g \right|^{q} \, dl}$ (lập luận chuẩn hóa), rồi lấy tích phân cả hai vế $$\frac{\int\limits_{I} \left| fg \right| \, dl}{\left(\int\limits_{I} \left| f \right|^{p} \, dl\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int\limits_{I} \left| g \right|^{q} \, dl\right)^{\frac{1}{q}}} \leq \frac{1}{p} \int\limits_{I} \frac{\left|f\right|^p}{\int\limits_{I} \left| f \right|^{p} \, dl} + \frac{1}{q} \int\limits_{I} \frac{\left|g\right|^q}{\int\limits_{I} \left| g \right|^{q} \, dl} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$tức là$$\int\limits_{I} \left| fg \right| \, dl \leq \left(\int\limits_{I} \left| f \right|^{p} \, dl\right)^{\frac{1}{p}} \left(\int\limits_{I} \left| g \right|^{q} \, dl\right)^{\frac{1}{q}}$$

Edited by Konstante, 24-12-2023 - 08:27.