Chủ đề này có 8 trả lời

[Ngoc Hung]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                             KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

            THÁI BÌNH                                                                NĂM HỌC 2023 - 2024

       ĐỀ CHÍNH THỨC                                                                 Môn thi: TOÁN

           Thời gian: 150 phút

Ngày thi: 21/12/2023

 

 

Bài 1. a) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $b(a+1)=1-a$

            Tính giá trị của biểu thức $P=a\sqrt{\frac{1+b^{2}}{1+a^{2}}}+b\sqrt{\frac{1+a^{2}}{1+b^{2}}}+\sqrt{\frac{(1+a^{2})(1+b^{2})}{4}}$

          b) Chứng minh rằng biểu thức $Q=\sqrt{1+2023^{2}+\frac{2023^{2}}{2024^{2}}}+\frac{2023}{2024}$ là số tự nhiên.

Bài 2. 1) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm $A(-1;1)$, $B(-5;-3)$ và đường thẳng $(d):y=ax+b$

            a) Tính diện tích tam giác OAB.

            b) Tìm a, b biết đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB và tiếp xúc với đường tròn tâm $O(0;0)$ bán kính $R=4\sqrt{2}$

          2) Cho đa thức $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+2$ với a, b là các số hữu tỉ. Biết đa thức đã cho có một nghiệm là $x=2-\sqrt{3}$. Tìm các nghiệm còn lại của đa thức.

Bài 3. a) Giải phương trình $4x^{2}+3x+2=3\sqrt{x^{3}+3x^{2}+3x+2}$

           b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x-y}=2y+1+\sqrt{y+1} & \\ 8x^{3}-52y^{2}-15x+11=(x+3)\sqrt[3]{12y^{2}+6x-5} & \end{matrix}\right.$

Bài 4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$.

            Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\frac{x^{2}+yz}{x\sqrt{y+z}}+\frac{y^{2}+zx}{y\sqrt{z+x}}+\frac{z^{2}+xy}{z\sqrt{x+y}}$

Bài 5. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AM, BN, CP cắt nhau tại H. Gọi K, Q lần lượt là giao điểm của NP với AH và AO, I là trung điểm của AH.

            a) Chứng minh rằng $IN^{2}=IK.IM$

            b) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BN và CP. Chứng minh rằng EF vuông góc với QM.

Bài 6. Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) không giao nhau. Trên đường thẳng d lấy điểm A. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE. Đường thẳng BC cắt OA và OI lần lượt tại H và K.

            a) Chứng minh rằng KE là tiếp tuyến của (O; R)

            b) Chứng minh rằng khi A di động trên đường thẳng d thì H di động trên một đường tròn cố định.

Bài 7. Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn $a,b\neq -1$ và $\frac{(a-1)(a+1)^{2}+(b-1)(b+1)^{2}}{a+b+ab+1}$ là số nguyên.

            Chứng minh rằng $a^{2023}b^{2024}-a$ chia hết cho $a^{2}+a$.

 

--- Hết ---

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 24-12-2023 - 05:58

[nhancccp]

1)a)

Ta có $b(a+1)=1-a\Rightarrow a+b+ab=1;b=\frac{1-a}{a+1}$.Thế $a+b+ab=1$ vào $P$

$P=a\sqrt{\frac{b^2+ab+a+b}{a^2+ab+a+b}}+b\sqrt{\frac{a^2+ab+a+b}{b^2+ab+a+b}}+\sqrt{\frac{(a^2+ab+a+b)(b^2+ab+a+b)}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)}(a+b)+a\sqrt{\frac{b+1}{a+1}}+b\sqrt{\frac{a+1}{b+1}}$ ($a+b>0$)

Lại thế $b=\frac{1-a}{a+1}$ vào $P$ ta được $P=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}}a^2+\sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}}a+1)}{a+1}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{(a+1)^2}}{a+1}=\sqrt{2}$

Vậy $P=\sqrt{2}$

b)Đặt $x=2023$ ta được $P=\sqrt{x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}+1}+\frac{x}{x+1}=\sqrt{(\frac{x^2+x+1}{x+1})^2}+\frac{x}{x+1}=x+1=2023+1=2024$ (đpcm)

2)$AB=\sqrt{(-1--5)^2+(1--3)^2}=4\sqrt{2};OA=\sqrt{(0--1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2};OB=\sqrt{(0--5)^2+(0--3)^2}=\sqrt{34}$
(đến đây ap dụng hệ thức Hê-rông )

2.2)Ta có $x=2-\sqrt{3}\Rightarrow x^2-4x+1=0$.Mặt khác $f(x)=(x-c)(x^2+4x+1)=x^3+(4-c)x^2+(1-4c)x-c$ ($c$ là 1 trong các nghiệm còn lại).Đồng nhất thức $a=6,b=9,c=2$.Vậy nghiệm còn lị của phương trình là $x_2=-2,x_3=2+\sqrt{3}$

3)ĐK:$x \geq -2$

Bình phương 2 vế ta được $16 x^4 + 15 x^3 - 2 x^2 - 15 x - 14 = 0\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(16x^2+15x+14)=0\Leftrightarrow x=1 orx=-1$

Vậy S={1;-1}
Em bận ôn thi ck nên chưa hoàn chỉnh,thi xong sẽ làm nốt

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 24-12-2023 - 10:01

[nhungvienkimcuong]

Bài 7. Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn $a,b\neq -1$ và $\frac{(a-1)(a+1)^{2}+(b-1)(b+1)^{2}}{a+b+ab+1}$ là số nguyên.

            Chứng minh rằng $a^{2023}b^{2024}-a$ chia hết cho $a^{2}+a$.

Thấy rằng

\[\frac{(a-1)(a+1)^{2}+(b-1)(b+1)^{2}}{a+b+ab+1}=\frac{b^2-1}{a+1}+\frac{a^2-1}{b+1}.\]

Đặt $\frac{b^2-1}{a+1}=\frac{x}{y}$ và $\frac{a^2-1}{b+1}=\frac{z}{t}$ với $x,y,z,t$ là các số tự nhiên sao cho ƯCLN$(x,y)=$ƯCLN$(z,t)=1$. Theo giả thiết thì 

\[\frac{xt+yz}{yt}=\frac{x}{y}+\frac{z}{t}\in\mathbb{Z}\implies yt\mid xt+yz\implies y\mid xt\implies y\mid t.\]

Ngoài ra 

$$\frac{x}{y}\cdot \frac{z}{t}=(a-1)(b-1)\in\mathbb{Z}\implies yt\mid xz\implies y\mid z.$$

Mà ƯCLN$(z,t)=1$ nên $y=1$. Như vậy $\frac{b^2-1}{a+1}$ là số nguyên, nghĩa là $a+1\mid b^2-1$. Phần còn lại thì biến đổi

$$a^{2023}b^{2024}-a=ab^{2024}(a^{2022}-1)+a(b^{2024}-1).$$

Vì $a+1$ là ước của cả $a^{2022}-1$ lẫn $b^{2024}-1$ nên ta có điều cần chứng minh.

 

Ghi chú. Bài này dựa trên Đề thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2007.

[perfectstrong]

2.2)Ta có $x=2-\sqrt{3}\Rightarrow x^2-4x+1=0$.Mặt khác $f(x)=(x-c)(x^2+4x+1)=x^3+(4-c)x^2+(1-4c)x-c$ ($c$ là 1 trong các nghiệm còn lại).Đồng nhất thức $a=6,b=9,c=2$.Vậy nghiệm còn lị của phương trình là $x_2=-2,x_3=2+\sqrt{3}$

Được phép suy thẳng $f(x)=(x-c)(x^2+4x+1)$ ư? Không cần chứng minh $f$ phải có một nghiệm liên hợp với $2-\sqrt 3$ à?

Mình làm chân phương hơn: ta tính biểu thức khi $x=2-\sqrt 3$

\[f\left( {2 - \sqrt 3 } \right) =  - \sqrt 3 \left( {4a + b + 15} \right) + 7a + 2b + 28\]

$\sqrt 3$ là số vô tỉ. Nhưng $a,b \in \mathbb Q \Rightarrow 4a+b+15 \in \mathbb Q$ và $7a + 2b + 28 \mathbb Q$. Để $f(2-\sqrt 3) = 0 \in \mathbb Q$ thì \[\left\{ \begin{array}{l}
4a + b + 15 = 0\\
7a + 2b + 28 = 0
\end{array} \right.\]

Rồi giải hệ bậc nhất hai ẩn thôi

[nhancccp]

Được phép suy thẳng $f(x)=(x-c)(x^2+4x+1)$ ư? Không cần chứng minh $f$ phải có một nghiệm liên hợp với $2-\sqrt 3$ à?

Mình làm chân phương hơn: ta tính biểu thức khi $x=2-\sqrt 3$

\[f\left( {2 - \sqrt 3 } \right) =  - \sqrt 3 \left( {4a + b + 15} \right) + 7a + 2b + 28\]

$\sqrt 3$ là số vô tỉ. Nhưng $a,b \in \mathbb Q \Rightarrow 4a+b+15 \in \mathbb Q$ và $7a + 2b + 28 \mathbb Q$. Để $f(2-\sqrt 3) = 0 \in \mathbb Q$ thì \[\left\{ \begin{array}{l}
4a + b + 15 = 0\\
7a + 2b + 28 = 0
\end{array} \right.\]

Rồi giải hệ bậc nhất hai ẩn thôi

Em cảm ơn anh vì đã góp ý ạ.

À phải thêm khúc này:$f(x)$ có nghiệm liên hợp với nghiệm $x_1=2-\sqrt{3}$ là $x_2=2+\sqrt{3}$

($f(2-\sqrt{3})=7a+2b+28-\sqrt{3}(4a+b+15)$ vì $\sqrt{3}$ vô tỷ mà $4a+b+15;7a+2b+28 \in Q$ nên $4a+b+15=0$;$7a+2b+28=0$
Xét $f(2+\sqrt{3})=7a+2b+28+\sqrt{3}(4a+b+15)=0$,suy ra $x=2+\sqrt{3}$ cũng là nghiệm của phương trình)
Đến đây thì làm tiếp như bài em được không ạ (mặc dù từ khúc bôi đỏ ta có thể tìm được ngay $a;b$ )

[P Tran]

Cho mình hỏi câu 1a nhân kiểu gì mà ra được $P=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}}a^2+\sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}}a+1)}{a+1}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{(a+1)^2}}{a+1}=\sqrt{2}$

Vậy $P=\sqrt{2}$.

1)a)

Ta có $b(a+1)=1-a\Rightarrow a+b+ab=1;b=\frac{1-a}{a+1}$.Thế $a+b+ab=1$ vào $P$

$P=a\sqrt{\frac{b^2+ab+a+b}{a^2+ab+a+b}}+b\sqrt{\frac{a^2+ab+a+b}{b^2+ab+a+b}}+\sqrt{\frac{(a^2+ab+a+b)(b^2+ab+a+b)}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)}(a+b)+a\sqrt{\frac{b+1}{a+1}}+b\sqrt{\frac{a+1}{b+1}}$ ($a+b>0$)

Lại thế $b=\frac{1-a}{a+1}$ vào $P$ ta được $P=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}}a^2+\sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}}a+1)}{a+1}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{(a+1)^2}}{a+1}=\sqrt{2}$

Vậy $P=\sqrt{2}$

b)Đặt $x=2023$ ta được $P=\sqrt{x^2+\frac{x^2}{(x+1)^2}+1}+\frac{x}{x+1}=\sqrt{(\frac{x^2+x+1}{x+1})^2}+\frac{x}{x+1}=x+1=2023+1=2024$ (đpcm)

2)$AB=\sqrt{(-1--5)^2+(1--3)^2}=4\sqrt{2};OA=\sqrt{(0--1)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2};OB=\sqrt{(0--5)^2+(0--3)^2}=\sqrt{34}$
(đến đây ap dụng hệ thức Hê-rông )

2.2)Ta có $x=2-\sqrt{3}\Rightarrow x^2-4x+1=0$.Mặt khác $f(x)=(x-c)(x^2+4x+1)=x^3+(4-c)x^2+(1-4c)x-c$ ($c$ là 1 trong các nghiệm còn lại).Đồng nhất thức $a=6,b=9,c=2$.Vậy nghiệm còn lị của phương trình là $x_2=-2,x_3=2+\sqrt{3}$

3)ĐK:$x \geq -2$

Bình phương 2 vế ta được $16 x^4 + 15 x^3 - 2 x^2 - 15 x - 14 = 0\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(16x^2+15x+14)=0\Leftrightarrow x=1 orx=-1$

Vậy S={1;-1}
Em bận ôn thi ck nên chưa hoàn chỉnh,thi xong sẽ làm nốt

[nhancccp]

Cho mình hỏi câu 1a nhân kiểu gì mà ra được $P=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}}a^2+\sqrt{\frac{1}{(a+1)^2}}a+1)}{a+1}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{(a+1)^2}}{a+1}=\sqrt{2}$

Vậy $P=\sqrt{2}$.

Thế $b=\frac{1-a}{a+1}$ vào $\displaystyle P=\frac{1}{2}\sqrt{(a+1)(b+1)}(a+b)+a\sqrt{\frac{b+1}{a+1}}+b\sqrt{\frac{a+1}{b+1}}$ thì được cái đấy thôi bạn 

[MHN]

https://thcshoangxua.../vi/tai-nguyen/

[habcy12345]

Em không chắc lắm nhưng xin giải bài 4 ạ 
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
$$\frac{(x+y)(x+z)}{x\sqrt{y+z}}+\frac{(y+z)(y+x)}{y\sqrt{z+x}}+\frac{(z+x)(z+y)}{z\sqrt{x+y}}\geq2(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})$$
Đặt $\sqrt{x+y}=a, \sqrt{y+z}=b, \sqrt{z+x}=c$, ta có:
\begin{align*}
VT&=2(\frac{a^2c^2}{(a^2-b^2+c^2)b}+\frac{b^2a^2}{(b^2-c^2+a^2)c}+\frac{b^2c^2}{(b^2-a^2+c^2)a})\\
&\geq\frac{2(ab+bc+ca)^2}{-(a^3+b^3+c^3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a))+3abc}\\
&\geq\frac{2(ab+bc+ca)^2}{3abc}\\
&\geq\frac{6(ab^2c+bc^2a+ca^2b)}{3abc}\\
&=2(a+b+c)
\end{align*}
Quay lại bài toán:
\begin{align*}
Q&=\frac{x^2+yz}{x\sqrt{y+z}}+\frac{y^2+zx}{y\sqrt{z+x}}+\frac{z^2+xy}{z\sqrt{x+y}}\\
&=\frac{(x+y)(x+z)}{x\sqrt{y+z}}+\frac{(y+z)(y+x)}{y\sqrt{z+x}}+\frac{(z+x)(z+y)}{z\sqrt{x+y}}-(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})\\
&\geq\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\\
&=\sqrt{\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2}+\sqrt{\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2}+\sqrt{\sqrt{z}^2+\sqrt{x}^2}\\
&\geq\sqrt{\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt{z}+\sqrt{x})^2}{2}}\\
&=\sqrt{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})=\sqrt{2}
\end{align*}
Dấu "$=$" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{9}$
Vậy $Q_{min}=\sqrt{2}$