Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-12-2023 - 15:18
Tiêu đề & LaTeX
Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-12-2023 - 15:18
Tiêu đề & LaTeX
Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$
(A2020+A)(A+I)=A2021+ A2020+ A+ I=-I + A2020+ A+ I= A2020 + A = A( A + I)(A2018- A2017+ A2016- .....-A +I)=(A + I)(A2019-A2018+ A2017-...+A)
Đảng thức xảy ra khi <=> A=-I
hoặc A 2020 + A=A2019 - A2018+ A2017-...+A(*)
Xét A2021 + I=0
<=>(A + I)(A2020-A2019+A2018 -....-A +I)=0
=>A=-I
hoặc A2020-A2019+A2018 -....-A +I = 0
(*)<=>A2020-A2020 -A +I=0
<=>A=I
Thử lại I2021=-I vô lí
nên chỉ có A=-I là nghiệm duy nhất
=> det(A+I)= 0
Đây là cách giải ngẫu hứng của mình.
Hy vọng có thể thấy những cách giải và phương pháp khác thú vị của mọi người^^
Vũ Tuệ
Ma trân không phải là số thực. Tích của hai ma trận khác $0$ có thể bằng $0$, nên bạn không thể lập luận là $MN = 0$ khi và chỉ khi $M = 0$ hoặc $N = 0$ được.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 04-01-2024 - 01:16
"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert
Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$
Ta có thể giả sử đang làm việc trên $\mathbb{C}$. Từ giả thiết thì đa thức đặc trưng của $A$ là nghiệm của $x^{2021}+1=0$ có các nghiệm phân biệt nên dạng chuẩn Jordan của $A$ là các khối $(1\times 1)$; nói cách khác, $A$ chéo hoá được và các giá trị riêng của nó là nghiệm của phương trình $x^{2021}+1$. Gọi $\lambda_1,...,\lambda_{2021}$ là các giá trị riêng (có thể trùng nhau) của $A$ thì định thức cẩn tính là $(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_{2021})$.
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Trên trường $\mathbb{C}$ thì nói chung $\det (A + I) \neq 0$, ví dụ có thể lấy $$A = \begin{bmatrix}e^{\frac{i\pi}{n}} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\frac{i\pi}{n}}\end{bmatrix}$$khi đó $\det (A+I) = (1+e^{\frac{i\pi}{n}})^n \neq 0$.
Một lập luận khác cho việc $A$ có thể chéo hóa được là như sau: do $A^{n} + I = 0$ nên một đa thức hủy (polynôme annulateur) của $A$ là $X^{n} + 1$. Đặt $P_{\min}$ là đa thức cực tiểu của $A$, thế thì $$P_{\min} \mid X^{n}+1$$Do $X^{n}+1$ có tất cả các nghiệm phân biệt, nên $P_{\min}$ cũng phải có tất cả các nghiệm phân biệt, do vậy $A$ chéo hóa được (theo lemme des noyaux).
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 04-01-2024 - 04:09
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh