Chủ đề này có 4 trả lời

[VUJr]

Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-12-2023 - 15:18
Tiêu đề & LaTeX

[VUJr]

Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$

(A²⁰²⁰+A)(A+I)=A²⁰²¹+ A²⁰²⁰+ A+ I=-I + A²⁰²⁰+ A+ I= A²⁰²⁰ + A = A( A + I)(A²⁰¹⁸- A²⁰¹⁷+ A²⁰¹⁶- .....-A +I)=(A + I)(A²⁰¹⁹-A²⁰¹⁸+ A²⁰¹⁷-...+A)

Đảng thức xảy ra khi <=> A=-I 

hoặc  A ²⁰²⁰ + A=A²⁰¹⁹ - A²⁰¹⁸+ A^2017-...+A(*)

Xét A²⁰²¹ + I=0

<=>(A + I)(A²⁰²⁰-A²⁰¹⁹+A²⁰¹⁸ -....-A +I)=0

=>A=-I

hoặc A²⁰²⁰-A²⁰¹⁹+A²⁰¹⁸ -....-A +I = 0

(*)<=>A²⁰²⁰-A²⁰²⁰ -A +I=0

<=>A=I 

Thử lại I²⁰²¹=-I vô lí

nên chỉ có A=-I là nghiệm duy nhất

=> det(A+I)= 0

 

 

Đây là cách giải ngẫu hứng của mình.

Hy vọng có thể thấy những cách giải và phương pháp khác thú vị của mọi người^^

Vũ Tuệ

[nmlinh16]

Ma trân không phải là số thực. Tích của hai ma trận khác $0$ có thể bằng $0$, nên bạn không thể lập luận là $MN = 0$ khi và chỉ khi $M = 0$ hoặc $N = 0$ được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 04-01-2024 - 01:16

[bangbang1412]

Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$

Ta có thể giả sử đang làm việc trên $\mathbb{C}$. Từ giả thiết thì đa thức đặc trưng của $A$ là nghiệm của $x^{2021}+1=0$ có các nghiệm phân biệt nên dạng chuẩn Jordan của $A$ là các khối $(1\times 1)$; nói cách khác, $A$ chéo hoá được và các giá trị riêng của nó là nghiệm của phương trình $x^{2021}+1$. Gọi $\lambda_1,...,\lambda_{2021}$ là các giá trị riêng (có thể trùng nhau) của $A$ thì định thức cẩn tính là $(1+\lambda_1)\cdots (1+\lambda_{2021})$.

[Konstante]

Trên trường $\mathbb{C}$ thì nói chung $\det (A + I) \neq 0$, ví dụ có thể lấy $$A = \begin{bmatrix}e^{\frac{i\pi}{n}} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\frac{i\pi}{n}}\end{bmatrix}$$khi đó $\det (A+I) = (1+e^{\frac{i\pi}{n}})^n \neq 0$.

Một lập luận khác cho việc $A$ có thể chéo hóa được là như sau: do $A^{n} + I = 0$ nên một đa thức hủy (polynôme annulateur) của $A$ là $X^{n} + 1$. Đặt $P_{\min}$ là đa thức cực tiểu của $A$, thế thì $$P_{\min} \mid X^{n}+1$$Do $X^{n}+1$ có tất cả các nghiệm phân biệt, nên $P_{\min}$ cũng phải có tất cả các nghiệm phân biệt, do vậy $A$ chéo hóa được (theo lemme des noyaux).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 04-01-2024 - 04:09