Chủ đề này có 1 trả lời

[minhquang47]

Cho $\mathbb{R}$ là trường số thực và $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ là một toán tử tuyến tính trong không gian vectơ $\mathbb{R}^3$ được xác định bởi công thức:
                          $f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2}+x_{3},-2x_{1}+3x_{2},-2x_{1}+x_{2}+2x_{3}).$

Với mỗi số nguyên $n \ge 2$ chứng minh rằng tồn tại một toán tử $g : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$: $g^n = f$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 29-12-2023 - 15:16
LaTeX

[Konstante]

Ma trận của $f$ trong cơ sở chính tắc$$M\left(f\right) = \begin{pmatrix}1 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 1 & 2\end{pmatrix}$$Ma trận này chéo hóa được$$M\left(f\right) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1\end{pmatrix}}^{-1} = PAP^{-1} = {(PA^{\frac{1}{n}}P^{-1})}^{n}$$Do vậy $f = g^n$ trong đó $g$ là ánh xạ tuyến tính với$$M(g) = PA^{\frac{1}{n}}P^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt[n]{1} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt[n]{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt[n]{3}\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1\end{pmatrix}}^{-1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 29-12-2023 - 23:39