Chủ đề này có 1 trả lời

[minhquang47]

Giả sử hàm $f:\left(-a;a\right)\backslash\left\{0\right\}\rightarrow\left(0;+\infty\right)$ thỏa mãn $\lim_{x\to0}\left(\begin{array}{l}{{f\bigl(x\bigr)+\dfrac{1}{f\bigl(x\bigr)}\biggr)=2\,.}}\end{array}\right.$ CMR $\operatorname*{lim}_{x\to0}\,f\bigl(\,x\bigr)=1\,.$

[Thegooobs]

Giả sử hàm $f:\left(-a;a\right)\backslash\left\{0\right\}\rightarrow\left(0;+\infty\right)$ thỏa mãn $\lim_{x\to0}\left(\begin{array}{l}{{f\bigl(x\bigr)+\dfrac{1}{f\bigl(x\bigr)}\biggr)=2\,.}}\end{array}\right.$ CMR $\operatorname*{lim}_{x\to0}\,f\bigl(\,x\bigr)=1\,.$

Đây là một bài toán quen thuộc tương tự như các bài toán $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x},\ \displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)}{x^2+x+1}...$

Cách xử lí chung là đặt hàm số trong dấu giới hạn là $g(x)$ từ đó có được giới hạn của $g$ và thực hiện biến đổi $f(x)$ theo $g(x)$ sau đó tính giới hạn.

Ở đây ta giải như sau:

Ở đây ta phải có $a>0$.

Đặt $g(x)=f(x)+\dfrac{1}{f(x)}$ với $g: \left(-a,a\right) \to \mathbb{R}$

Vì $f: \left(-a,a\right) \to \left(0,\infty \right)$ nên $f(x)>0,\ \forall x \in \left(-a,a\right)$ nên ta nhân 2 vế cho $f(x)$ và biến đổi ta được:

$f^2(x)-g(x)f(x)+1=0, \ \forall x \in \left(-a,a\right)$

Đánh giá bằng bất đẳng thức $\text{AM-GM}$ ta thấy $g(x)\geq 2, \forall x \in \left(-a,a\right)$ nên ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2 và

$f(x)=\dfrac{g(x)\pm \sqrt{g^2(x)-4}}{2}, \forall x \in \left(-a,a\right)$ (tức là đúng trong một lân cận thủng của $0$ )

Vì $\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=2$ nên kết hợp với quan hệ của $f,g$ như trên ta được $\lim_{x\to 0}f(x)=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 21-01-2024 - 20:29