Do $A$ là ma trận trên trường số phức nên nó luôn có $2$ giá trị riêng (tính cả bội), gọi các giá trị riêng đó là $a,b$, các không gian riêng tương ứng là $E_a,E_b$ (với $\dim E_a \geq 1$, $\dim E_b \geq 1)$. Có hai trường hợp
Nếu $\dim E_a \oplus E_b = 2$ (ma trận $A$ chéo hóa được) thì tồn tại một cơ sở $\left\{ v_a, v_b \right\}$ với $v_a \in E_a$ và $v_b \in E_b$, khi đó ma trận $A$ trong cơ sở này sẽ là $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix}$.
Nếu $\dim E_a \oplus E_b = 1$, tức là hai không gian riêng $E_a$ và $E_b$ trùng nhau (kéo theo $a=b$) và có số chiều là $1$ (ma trận $A$ không chéo hóa được), thì tồn tại một cơ sở $\left\{ w, v_a \right\}$ với $v_a \in E_a$ và $w \not\in E_a$, khi đó ma trận $A$ trong cơ sở này sẽ là $\begin{pmatrix} w_0 & 0 \\ w_1 & a \end{pmatrix}$.
- vì $a=b$, điều này kéo theo đa thức đặc trưng $P_A = {(X-a)}^2$, từ đó $w_0 = a$,
- vì $\dim E_a \oplus E_b = 1$ nên $w_1 \neq 0$.
Thế thì ma trận $A$ trong cơ sở $\left\{ \frac{w}{w_1}, v_a \right\}$ sẽ là $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 02-01-2024 - 05:47